数学建模在初中数学应用题解答中的运用*

江苏省高邮市南海中学 刘兴安

新课程标准指出，数学教学应注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想.模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果，并讨论结果的意义.通过这一过程，学生能形成模型观念，提高学习数学的兴趣和应用意识.初中阶段常见的数学模型包括方程模型、不等式模型、函数模型、直角三角形模型、几何模型、统计模型等.如何在初中数学应用题中建立数学模型，从而解决实际问题呢？请看下面几个实例.

一、建立方程模型解答应用题

在实际生产、生活中存在大量的数量关系，其中包括相等关系，方程模型是反映这种关系的数学模型.建立方程模型就是运用数学符号和语言将实际问题中的等量关系抽象为方程，通过解方程得到方程的解，再检验是否符合题意，从而解决问题，它能够使我们从数量关系方面描述和把握现实世界.

例1扬州市金发公司派出65名人员生产A、B两种产品，生产2件A产品需要一个人一天，生产1件B产品需要一个人一天，经市场调研发现，一件A产品能获得15元的利润，一件B产品能获得120元的利润，但是在实际工作中，需要开支一定数额的其他费用，但仅限于B产品，每多生产1件B产品，每件产品需多开支2元，设派出x名人员去做B产品.

（1）根据信息填表1：

表1

（2）若每天生产B产品可获得的利润比A产品少650元，试问：该金发公司每天生产A、B产品可获得的总利润是多少？

解析：（1）设每天安排x人生产B产品，则每天安排（65-x）人生产A产品，每天可生产x件B产品，每件的利润为（120-2x）元，每天可生产2（65-x）件A产品.故答案为：2（65-x），120-2x.

（2）依题意得15×2（65-x）-（120-2x）x=650.

整理得：x2-75x+650=0.

解得x1=10，x2=65（不合题意，舍去）.

15×2（65-x）+（120-2x）x=2650.

答：该企业每天生产A、B产品可获得的总利润是2650元.

评注：本题建立了一元二次方程的数学模型解决了销售利润问题，题中未知数的两个值都是原方程的解，但有一个不符合题意，必须舍去，这就是方程的解与实际问题的解之间的差异.

二、建立不等式模型解答应用题

与相等关系一样，在现实世界中也存在大量的不等关系，如大于、小于、不等于、不超过、不低于、不多于、不少于、至少、至多等表示的都是不等关系，这时需要建立不等式或不等式组去解答问题，它在范围估计、方案设计、投资决策等方面都有重要作用.

例2南阳市市政公司决定购买A、B两种型号的环保车共40辆，对城区所有公路地面进行清扫.每周处理垃圾100吨需要1辆A型环保车和2辆B型环保车，每周处理110吨垃圾需要2辆A型环保车和1辆B型环保车.

（1）A型环保车每周可清理多少垃圾？B型环保车每周可以清理多少垃圾？

（2）市政公司准备拨款910万元购买环保车，每周清理垃圾最少为1400吨.

已知A型环保车每辆价格为25万元，B型环保车每辆价格为20万元，请设计符合题意的购买方案，并求花费最少的购买方案.

解析：（1）设A、B两种型号的环保车每辆每周分别可以处理垃圾a吨、b吨.

答：A型环保车每周清理垃圾40吨，B型环保车每周清理垃圾30吨.

（2）设购买A型环保车m辆，B型环保车（40-m）辆，所需资金为y元.

由于m为整数，所以m可取20、21、22，共有三种购买方案.

表2

y=25m+20（40-m）=5m+800，则当m=20时，y取得最小值，此时y=900.

答：方案一所需资金最少，900万元是所需的最少资金.

评注：本题通过建立不等式组进行了一次方案设计，是不等式模型的典型应用，它常与方程组模型结合在一起考查，两个模型相互关联，一起为解决现实问题服务.题中所列不等式组的解集包含了无数个解，但对于实际问题来说，它只有三个解，所以一元一次不等式组的应用题就是求不等式组的非负整数解.

三、建立函数模型解答应用题

在现实世界中大量存在一种量随另一种量变化而变化的现象，如一天气温随时间变化而变化，销售量随单价变化而变化，图形面积随边长变化而变化等，像这样的关系都是数学中的函数关系，遇此情况可以建立函数模型予以解答.初中阶段学习过的函数模型包括：一次函数模型、反比例函数模型、二次函数函数等，应用其增减性解决问题较为常见.

例3如图，在南海中学有一块闲置的地，闲地的边上有一段长为a米的旧墙MN，校团委准备利用旧墙和100米长的篱笆围成一个长方形花园ABCD.

（1）如图1，已知长方形花园的一边利用旧墙，且AD≤MN，设定AD=x米.

图1

①若a=20，所围成的长方形花园的面积为450平方米，求长方形花园的一边AD的长；

②求长方形花园ABCD面积的最大值；

（2）如图2，若a=20，充分利用旧墙和篱笆的长度，围成一个面积最大的长方形，此时，长方形ABCD面积的最大值是______平方米.

图2

解 析：（1）

由于90＞20，所以应舍去.

答：AD的长为10米.

②设AD=xm.

当a≥50时，可得：当x=50时，S取得最大值，为1250.

当0＜a＜50时，可得：当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，则当x=a时，S取得最大值，为

综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250m2；当0＜a＜50时，S的最大值为

（2）设长方形ABCD的面积为W，AD=x，则AB=60-x.

W=x（60-x）=-（x-30）2+900（20＜x＜60）.

当x=30时，长方形花园ABCD的面积取得最大值，为900m2.

评注：本题建立了二次函数的数学模型解决了矩形花园的最值问题，主要利用了二次函数最值性质和增减性，在确定最值时，一定要注意自变量的取值范围，使函数的解析式和实际问题都有意义.

四、建立直角三角形模型解答应用题

在初中阶段，关于直角三角形，我们学过的性质比较多，如勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数、斜边中线的性质、30度角的性质等，遇到图形问题，若能通过分割或增补变成直角三角形，则问题比较容易解决，

例4良好的坐姿有利于青少年骨骼生长，有利于身体健康.理想状态下，正确的写字坐姿，上身保持正直，头正脖子直，身体两侧两手自然放平，两腿与肩同宽，挺起胸膛，如图3所示，将图3中的眼睛记为点A，腹记为点B，笔尖记为点D，且BD与桌沿的交点记为点C.

图3

（1）若∠ADB=53°，∠B=60°，求点A到BD的距离及C、D两点间的距离（结果精确到1cm）.

（2）老师发现小红同学的写字姿势不正确，眼睛倾斜至图4的点E，点E正好在CD的垂直平分线上，且∠BDE=60°，于是要求其纠正为正确的姿势，求眼睛所在的位置应上升的距离.（结果精确到1cm）

图4

图5

参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，

解析：（1）过点A作AH⊥BD于点H.

则∠AHD=∠AHB=90°.

由AD=30，∠ADB=53°，得AH=AD·sin53°≈30×0.80=24，DH=AD·cos53°≈30×0.60=18.

BD=BH+DH=32.

BC=12，则CD=32-12=20.

答：点A到BD的距离约为24cm，C、D两点间的距离为20cm.

（2）过点E作EG⊥CD，过点A作AF⊥EG交GE的延长线于点F.

则四边形AFGH是矩形，则FG=AH=24.又点E正好在CD的垂直平分线上，则又∠EDC=60°，则，则EF=FG-EG≈7（cm）.

答：眼睛所在的位置应上升的距离为7cm.

评注：本题首先将锐角三角形分割成两个直角三角形，然后将一个四边形分割、增补成直角三角形和矩形，这样就建立起直角三角形模型，然后利用直角三角形的性质解答.

从以上典例中，可以总结出数学建模的一般步骤：（1）模型准备，了解问题背景，掌握各种信息，用数学语言描述问题；（2）模型假设，利用数学工具刻画变量之间的关系，建立数学结构；（3）模型求解，利用已知条件，对模型进行计算；（4）模型分析；（5）模型检验，将模型结果与实际情形进行对比，并修改假设；（6）模型应用.在初中数学教学中，应培养学生数学建模的思想，形成良好的思维习惯和用数学的能力.