研究课堂结构，培养学科能力——以点、直线、圆和圆的位置关系为例

江苏省南京市第二十九中学初中部 吴明艳

又是一年六七月，转眼间学生由八年级进入九年级，教育教学的重要任务向快速结束教材内容和进入中考备考状态转轨，任课教师也倍感压力，怎样才能在平常的课堂教学中做好新的知识学习的同时又不失引领学生科学备考呢？笔者所在的数学备课组成员展开了一系列的研讨，就一些教材中的关键章节进行了说课.笔者以点、直线、圆和圆的位置关系为例谈了怎样实现“研究课堂结构，培养学科能力”.

一、分析点、直线、圆和圆的位置关系在初中数学中的核心素养，找准教学方向

从教材内容来看，知识含“点和圆的位置关系”“直线和圆的位置关系”“圆和圆的位置关系”，这是在学生已经掌握众多的几何图形知识的基础之后的延伸，将曲折的图形“圆滑化”.三块内容本身也具有递进性，使得点、线、面浑然一体.因此，本章节内容无论从数学知识体系的构建，还是培养学生学科素养来讲，都占有举足轻重的地位.

因此，笔者从四个方面给出了教学目标，来达成培养学生的学科核心素养：

（1）在认知点和圆、直线和圆、圆和圆的几种位置关系的基础上，明确科学考向.

（2）以循序渐进的方法理解各种位置关系中，d与R、r的数量关系，体会数形转换的学科思维.

（3）在针对训练中提升学生的探究能力、识图能力、推理判断能力.

（4）观察现实生活中的空间图形，体验学科思维，以解决生活中的实际问题.

笔者将切线的判定，两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系作为重点，真正体现培养学生数形转换的学科思维；将各知识点之间的整合和在实际生活中的应用作为难点.以问题情境引入—基础知识整合—综合知识应用为课堂活动环节，来打造课堂结构、培养学科能力.

二、预设点、直线、圆和圆的位置关系在课堂教学中的重要环节，打造课堂结构

一节课是以引入课题为起点的，首先预设一个与生活息息相关的圆的情境（用媒体播放圆与球：跨时代、跨文化的数学故事），然后引入“点与圆的位置关系”内容.

1.新课导入环节的预设

预设问题：有哪几种点和圆的位置关系？你该怎样判定？

点到圆心的距离用d表示、圆的半径用r表示，让学生在探究过程中明确点和圆的三种位置关系（如图1）.

图1

几何图形对应的数的关系：图1左是d＜r、图1中是d=r、图1右是d＞r.

预设练习1：如图2，已知直角△ABC的直角边AB=3cm，AC=4cm.

图2

（1）以点A为圆心、4cm为半径作⊙A，则点B、C与⊙A的位置关系如何？

（2）若以点A为圆心作⊙A，你认为B、C两点可能出现几种情况？分析对应的⊙A的半径r的取值范围是什么.

（3）你能否找到一圆使A、B、C三点共圆？圆心在什么位置？半径r是多少？

预设目的：从新知认知，感悟点和圆的位置关系其实是一种数形转换的数学思想.然后对新知进一步巩固，尤其是（2）中学生出现了以下情况：

r＜3cm，B、C两点都在⊙A外；r=3cm，点B在⊙A上、点C在⊙A外；3cm＜r＜4cm，点B在⊙A内、点C在⊙A外；r=5cm，点B在⊙A内、点C在⊙A上；r＞5cm，B、C两点都在⊙A内.不可能出现B、C两点都在⊙A上的情况.

（3）难度较大，要利用直角三角形斜边上的中线为斜边的一半解决问题.因此，使A、B、C三点共圆，圆心是斜边的中点，半径r是斜边的一半，再利用勾股定理，r=

2.新课探究环节的预设

可以让学生以“点和圆的位置关系”的学习方法探究“直线和圆的位置关系”，得出直线和圆的三种位置关系（如图3）：

图3

找出圆心到直线的距离d与半径r的数量关系间的联系：

图3中，①是d＞r，无交点；②是d=r，有1个切点；③是d＜r，有2个交点.

预设练习2：请各个小组讨论，用相交、相切、相离回答下列问题.看哪组同学答得又快又好.

已知⊙O的半径是10，根据下列条件，判断⊙O与直线l的位置关系.

表1

讲授要点知识——圆的切线、切线的有关性质及判定.注意总结规律：

判断一条直线是圆的切线的方法有：（1）若直线与圆有唯一的公共点，则此直线为圆的切线；（2）圆心到直线的距离等于圆的半径，则此直线为圆的切线；（3）过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线.

预设练习3：（2019年江苏省宿迁市中考第24题）在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）如图4，点O在斜边AB上，以点O为圆心、OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F.求证：∠1=∠2.

图4

图5

（2）在图5中作⊙M，使它满足以下条件：

①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切.（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）

预设目的：将导学案前置，让学生自主学习，然后分组讨论并抢答问题.一方面，培养了学生的自学能力，另一方面，还可以增强集体荣誉感.预设练习2中⑤和⑥有一定的难度，学生对⑤和⑥可能理解不全面，此时引导学生结合点和圆的三种位置关系进行分析.在预设练习3中，可以引导学生不断深化.解题的简约思路如下：

（1）连接OF，则OF⊥AC，OF为⊙O的半径.

圆的半径OF=OB，则根据等腰三角形的性质可以得出∠2=∠OFB.

再根据∠C=90°，推出OF∥BC.

∠OFB=∠1，则∠1=∠2，原命题得以证明.

（2）方法1：作∠B的平分线交AC于点F，再作MF⊥AC交AB于点M，以点M为圆心、MB为半径作圆，⊙M即为所求作的圆.

方法2：作∠B的平分线交AC于点F，再作BF的垂直平分线交AB于点M，以点M为圆心、MB为半径作圆，⊙M即为所求作的圆.

选择本中考试题的目的在于让学生在平常的课堂学习中既能体会到中考试题的考向，又明确中考试题的解法是多元化的，可能的“定理”就在题干之中，如本题第（2）问的求解可以运用第（1）问中证明出的结论.

生活中处处有数学.圆与圆的位置关系也是如此，圆和圆有五种位置关系，这里就不再一一赘述了.

3.反思点、直线、圆和圆的位置关系在课堂教学中的重要环节，优化课堂结构

第一，进入九年级，要自主探究，不是放任自由.预设这节课需要有导学案前置的自主学习、课堂上的小组合作及展示等环节，教师再重点进行点拨.这种学习方式特别有利于调动学生的学习兴趣和张扬学生的个性，弥补了传统教学的不足.教学实践表明，只有在教师充满睿智的引导下，才能强化学生的自主学习.所以，课堂环节的预设中将引导作为一种真诚的帮助，作为一种精当的启迪，作为一种热情的激励.让教师的引导融合到学生的自主探究中，形成学习合力.

第二，小组探究学习，要让合作成为智慧的交融.

合作学习是一种学习方式，预设的这节课根据学习内容而定，在“直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系”关键环节采用了小组合作的学习方法.预案中指导合作学习时强调以下几点.（1）提前做好合作铺垫，在“点与圆的位置关系”的新知学习过程中要有引导.即对初中生要教给他们学习方法，这是一种学科素养的培训.同时，在小组合作探究之前，预设中有导学案的前置，留给学生充足的独立思考的时间，只有学生对所需要学习的知识有初步的认识和了解，才能进行有效的小组合作学习.（2）用电子白板给出合作目标，要让学生明确小组合作是干什么的、通过合作要达到的目标是怎样的，等等，要在小组合作中明确角色定位，让合作探究有的放矢.

总之，教学是一门艺术.只有一线教师不断研究课堂结构、培养学科能力，初中教育教学才会艳阳高照.