二次函数最值性质的应用

浙江省宁波市鄞州蓝青学校 王科娜

在生产、科研和生活中，我们总想用最少的人力、物力、时间等来完成更多的事，收获最大的效益，管理学把此称为生产者利益的最大化和消费者效用的最大化，从数学的角度看就是最优化问题，即在特定条件下求解目标函数的最大值或最小值.早在2000多年前，欧几里得就指出，在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积最大，随着科技的进步与生产经营的发展，最优化方法已被广泛应用于社会生活的各个领域，发挥着越来越重要的作用.初中阶段学习的二次函数就是解决最优化问题的一种工具，利用其最值的性质可实现成本的最小化、利润的最大化，求得线段的最小值、面积的最大值等.

一、利用二次函数最值性质确定最大利润

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为当a＞0时，函数有最小值，此时；当a＜0时，函数有最大值，此时当然求二次函数的最值也可以将其配成顶点式y=a（xh）2+k，当a＞0时，函数有最小值y=k，此时x=h；当a＜0时，函数有最大值y=k，此时x=h.利用二次函数最值性质确定最大利润，是中考较常见的题型，主要考查学生根据实际问题建立二次函数关系，然后利用二次函数的图像与性质解决实际问题，体现了新课程标准中“特别注重发展学生的应用意识”的要求.

例1（2018·扬州改编）漆器是扬州的一大特色，扬州一网店专门从事一品牌的漆器笔筒销售，其成本是30元/件，每天销售的数量y与销售的单价x存在着一次函数关系，如图1所示.

图1

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）假设筹划一天漆器笔筒的销售量大于或等于240件，当销售单价为多少元时，其获取利润最大？最大利润是多少？

分析：（1）根据函数图像上两个已知点的坐标，用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；（2）根据一天漆器笔筒的销售量不低于240件，可得自变量x的取值范围，根据总利润=每件利润×件数，建立二次函数关系式，并将其配成顶点式，结合自变量的取值范围求函数的最大值.

解：（1）根据题设可知：解得则y与x之间的函数关系式是y=-10x+700.

（2）由题意得-10x+700≥240，解得x≤46.

设利润为w=（x-30）·y=（x-30）（-10x+700）=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，则抛物线开口向下，对称轴为直线x=50，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，即x＜50时，w随x的增大而增大.又x≤46，则当x=46时，w最大=-10（46-50）2+4000=3840.

答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元.

点评：在实际问题中，二次函数的最值还受实际情况的限制，要结合实际情况中自变量的取值范围求最值.二次函数在自变量m≤x≤n的范围内，对应的图像是抛物线的一段，最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值，根据自变量的范围，抛物线上所取的形状各异，下面是一些常见的情况：

图2

二、利用二次函数最值性质确定最小面积

二次函数最值性质不仅可以确定销售问题中的最大利润，而且可以确定几何图形中最小面积，此时这个几何图形的面积往往可变，其原因是控制图形的某些顶点是动点，故此类问题常与动点问题结合，其理念符合课程标准“发展学生空间观念”的要求.

图3

例2如图3，在△AOB中，∠O=90°，AO=18cm，BO=30cm，动点M从点A开始出发，以1cm/s的速度沿着边AO向其终点O移动，动点N从点O开始出发，以2cm/s的速度沿边OB向终点B移动，一个点到达终点时，另一个点也停止运动.如果M、N两点分别从A、O两点同时出发，设运动时间为ts 时四边形ABNM的面积为Scm2.

（1）求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；

（2）判断S有最大值还是有最小值，并求出这个值.

分析：（1）首先用含t的代数式表示OM、ON，然后根据“四边形ABNM的面积”=△AOB的面积-△MON的面积”，可建立S关于t的函数关系式，根据线段OA、OB的长与点M、点N的运动速度，可得自变量的取值范围；（2）可利用配方法把一般式化为顶点式，再根据二次函数最值性质解答.

解：（1）由题意得AM=t，ON=2t，则OM=OA-AM=18-t.

由四边形ABNM的面积=△AOB的面积-△MON的面积，得

由题意得点M到达点O需要18s，点N到达点B需要15s.

因为M、N两点分别从A、O两点同时出发，一个点到达终点时，另一个点也停止运动，所以t的取值范围是0＜t＜15.

（2）S=t2-18t+270=t2-18t+81-81+270=（t-9）2+189.

由a=1＞0，得S有最小值，这个值是189.

点评：二次函数取最值时对应的自变量的值，恰好在t允许的范围内，所以二次函数y=a（x-h）2+k中最值k就是符合题意的最值，此种情况符合图2中的第三个图像.另外，对于几何图形中线段长、图形面积的和差关系，需要通过观察图形得到，解答时要结合图形.

三、利用二次函数最值性质确定线段最大值

中考压轴题常为二次函数搭台，几何图形唱戏，所涉及的问题类型较多，其中求线段长、三角形周长、三角形面积等问题，都可归结为求线段长的最值问题，解决这类问题需要设出点的坐标，用坐标表示对应线段的长，建立二次函数关系式求线段长的最值，需要运用数形结合与转化思想去观察和思考问题.

例2如图4，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x2+bx+c，与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）.

图4

（1）求点B的坐标.

（2）点C是抛物线与y轴的交点，点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值.

分析：（1）由对称轴的方程与点A的坐标，根据抛物线的对称性可得出点B的坐标；（2）首先利用待定系数法求得二次函数的解析式，进而求得直线AC的解析式，设出点Q的坐标，表示点D的坐标，利用QD的长就是它们纵坐标的差，建立二次函数关系式，进而求出最值.

解：（1）由点A（-3，0）与点B关于直线x=-1对称，得点B的坐标为（1，0）.

（2）由抛物线过点（-3，0），且对称轴为直线x=-1，得解得则抛物线的解析式为y=x2+2x-3，且点C的坐标为（0，-3）.

图5

如图5，由于点Q是线段AC上的动点，所以可设点Q的坐标为（x，-x-3），且-3≤x≤0.

由QD⊥x轴交抛物线于点D，得点D与点Q的横坐标相同，点D的坐标满足抛物线y=x2+2x-3，则点D的坐标为（x，x2+2x-3）.

由点Q在点D的上方，得QD=-x-3-（x2+2x-3）=-x2-

点评：如果点A在直线y=kx+b上，那么可设点A的坐标为（x，kx+b），如果点B在抛物线y=ax2+bx+c上，那么可设点B的坐标为（x，ax2+bx+c），这种设坐标的方法可以将动点的坐标用代数式表示出来，便于用点的坐标表示线段的长.同时与y轴平行的竖直线段的长，就用上面点的纵坐标减去下面点的纵坐标，与x轴平行的水平线段的长，就用右边点的横坐标减去左边点的横坐标.

函数最值问题的实际应用，具有物理、几何、经济学等方面的研究价值，通过判定最大值或最小值的变化情况，可为日常生活带来优化经济效益、减少成本等实际作用，让函数最值问题运用到实际生产、生活中，以实现其实际意义，这是函数最值推广的根本出发点.