凸显求解过程，促进深度学习*——以分式方程解的教学为例

山东省淄博市临淄区教学研究室 刘 涛 杨静霞

数学深度学习是相对初中数学教学中出现的被动式、孤立式、机械式的浅层学习而言的，指在浅层学习的基础上，由接受式学习向探究式学习转化，由低阶思维能力向高阶思维能力发展，由简单直观型知识结构向拓展抽象型知识结构延伸，实现原有知识经验基础上的主动建构，逐渐完善个人数学知识体系，并有效迁移应用到真实情境的过程

一、教学内容分析

1.教材分析

纵观我国现行各版本教材，对分式方程解的论述都稍显简略.如山东教育出版社八年级上册教材（2014年版）中只提到了“增根”，简略分析增根产生的原因，进而指出得到增根后应把它舍去（详见教材第39页和第40页）；人民教育出版社八年级上册教材（2013年版）论述较为详尽，特别是对分式方程解的说明，指出分式方程的解首先是去分母后整式方程的解，同时使分式方程分母的值不为0，但对“增根”只字未提（详见教材第150页和第151页）.关于分式方程有增根、无解、有解的认识及根据解的情况确定分式方程中字母系数的取值问题，目前已有大量的文献资料供参考.但在实际教学中，如果教师将结论、做法直接传授给学生，学生就会被动地接受知识，导致学习效果事倍功半.

事实上，关于分式方程解的讨论与分式方程的求解过程是紧密相连的.因此，设计基于求解过程的教学，让学生在问题情境中充分探究，把握问题的来龙去脉，才能促进学生深度学习，提升学习效率.本节课的教学试图通过引导学生对分式方程求解过程的探究，借助问题导向，顺通思维，明确本质，在不断将学习推向深入的同时做到对分式方程解的融会贯通，并能举一反三、灵活应用.

2.目标分析

深刻认识分式方程的解的三种情况（有增根、无解、有解），并能根据解的具体情况确定方程中字母系数的取值；通过过程探究，温故知新，提升利用所学知识解决新问题的能力；养成遵循法则、严谨认真的数学学习品质.

3.重、难点分析

重点：深刻认识分式方程“有增根”“无解”“有解”之间的区别与联系.

难点：根据解的情况确定含字母系数的分式方程中字母系数的取值.

二、课堂教学实施

1.回顾旧知，激活思维

师：在“分式与分式方程”这一章，我们是如何解分式方程的？主要做法是什么？

生：首先通过去分母，将分式方程转化为整式方程，然后解这个整式方程，从而得到未知数的值.

生：得出未知数的值以后还要进行检验，如果未知数的值使得原分式方程的分母为0，那么这样的解是增根，如果每个解都是增根，则原分式方程无解.

设计意图：比起整式方程，分式方程的求解过程变得相对复杂，特别是解后验根的环节必不可少，本课关于分式方程有增根、无解、有解的讨论，即是建立在对求解过程深入剖析的基础之上，即只有学生明确了分式方程求解的全过程，才能根据解的情况逐个寻找问题解决的突破口.此举既让学生回顾了解分式方程的完整步骤，又为后面的问题探究做足铺垫.

2.问题探究，激疑答惑

问题1：使分式的分母为0的根一定是分式方程的增根吗？

例：你能确定下面分式方程的增根吗？你是如何确定的？

生：我认为第一个方程的增根为“x=3”，第二个方程的增根为“x=1”或“x=-1”.

师：你是如何这么快就得到答案的？

生：通过令分式方程的分母等于0，便可快速得出.

师：请大家通过解分式方程得出答案.

生：通过实际解方程，我们求得两个方程的增根分别为“x=3”，“x=1”.

师：第二个分式方程的增根与有些同学的猜想不一样，为何只有“x=1”这一个增根，而未出现“x=-1”这个增根？请大家思考，分式方程的增根应具备怎样的特点？

生：在第二个分式方程中，虽然“x=1”和“x=-1”都使分式方程的分母为0，但仅仅具备这一点是不够的，在实际的求解中，通过解分式方程转化后的整式方程“x+1=2x”，只能得到“x=1”.

生：作为分式方程的增根，它要满足两个条件，既是分式方程去分母后转化成的整式方程的解，又使得分式方程分母的值为0.

设计意图：许多学生对增根存在着错误的认识，认为增根就是使得分式方程分母的值等于0的未知数的取值，通过“反衬对比”让学生意识到增根来源于分式方程的求解过程之中，使分式方程分母的值等于0只是增根的一个特征.同时，通过对增根的学习，进一步引导学生认识到探究求解过程对问题解决的重要性，进而培养他们严谨、认真的数学学习习惯.

问题2：分式方程有增根等同于无解吗？

例：解下面两个分式方程，从解的情况来看，你有何发现？

学生先独立求解，然后小组内交流看法.

生1：从解的情况来看，相同点是这两个分式方程都无解，解方程（1）得到“0x=13”，显然是无解的，解方程（2）得“x=-2”是增根，原方程也无解.

生2：不同的地方在于，虽然两个方程都无解，但第一个方程无增根，第二个方程有增根.

师：说得非常好！通过刚才的探究，你能说说分式方程的增根与无解之间有何关系吗？

生3：对分式方程来讲，增根导致了无解，但无解并不一定意味着有增根.

设计意图：这是对无解进行初步探究，主要围绕无解与增根之间的关系展开，让学生明白分式方程无解并非只有有增根这一种情况，对思维的发散起到至关重要的作用.

师：结合刚才的探究启发，我们再来解决下面的问题.

问题3：知道分式方程无解，你能确定字母系数的值吗？

例：（1）若关于x的方程无解，则m的取值为_________.

教学预设：学生容易将分式方程转化为整式方程，分别得到：

①x=m+1；

②（1-m）x=2.

但在进一步求解m的值时，有的学生依然将无解等同于方程只有增根这一种情况，即令x的值分别为4，2，从而得出m的值分别为3，0.

师：除了根据方程产生增根这种情况求解m的值，你还有别的想法吗？

生：本问题的方程（2）中，m的取值还可能为1，即当m=1时，原分式方程也无解.

师：很好！那么问题（1）中m的值是否存在多解？（1）与（2）的区别在哪里？

生：我们将分式方程转化为整式方程后，发现①式中无论m如何取值，都能得到相应x的值，而②式中则不然，当m=1时，这个整式方程无解.

师：根据前面的分析，你能总结出由含字母系数的分式方程无解，应如何来确定字母系数的取值吗？

生：可以从两个方面，一是从分式方程产生增根这个角度，二是从分式方程转化成的整式方程无解这个角度.

设计意图：问题3是问题2的顺承与延拓，仅仅借助问题2，学生对分式方程无解的认识并不到位，通过将分式方程求解过程中转化得来的整式方程摆在一个至关重要的位置，凸显了对求解过程进行深层剖析的思维路线.同时，本例中两个转化后的整式方程特点不一，形成鲜明对比，为进一步探究思考指明了方向.通过此环节的学习，学生对分式方程无解有了较为全面的认识，并能用来确定字母系数的取值.

师：基于对无解的学习，我们应该如何认识分式方程有解呢？请以问题3中的两个分式方程有解为例，确定m的取值.

生：问题3中的分式方程有解时，我们得到（1）中m的取值范围是“m≠3”，（2）中m的取值范围是“m≠1”或“m≠0”.

师：还有补充或问题吗？

生：我认为（2）中m的取值范围应该是“m≠1”且“m≠0”.

师：区别在哪里？

生：“或”意味着只要满足一个取值要求即可，而“且”则是两个取值要求必须同时满足.

师：对！大家今后考虑问题一定要全面，用语一定要规范、严谨.

设计意图：对分式方程来讲，有解是无解的逆向思维，因此完全可以放手给学生，让其独立完成对有解的探究学习.当分式方程有解时，分式方程无增根且分式方程转化后的整式方程本身有解，这时，得到的m的取值应该是一个范围而不再是确定的数值，学生可以从前后取值情况获得体验.同时，规范了“或”“且”这两个逻辑用语的使用，利于学生严谨这一思维习惯的养成.

3.对应训练，辨析本质

问题4：你能由分式方程解的情况，得到字母系数的取值吗？

例：已知关于x的方程，则a取何值时，

（1）分式方程有增根？

（2）分式方程无解？

（3）分式方程有解？

设计意图：围绕一个分式方程，对有增根、无解、有解三种情况“并联”讨论，有利于在概念的比较辨析中巩固所学知识，渗透分类讨论思想，提升学生的学科素养.

4.当堂总结，反思提高

（1）经过本节课的学习，对分式方程有增根、无解、有解，你有了哪些新的认识？如何根据分式方程解的情况，确定分式方程中某些字母的取值？

（2）对分式方程有增根、无解、有解的讨论离不开对求解过程的剖析，这对你今后的学习有何启发？

设计意图：一是引导学生构建本课的结构框架，形成全面、系统的知识网络与思维体系；二是启发学生回顾通过不断深究求解过程从而解决疑难问题的做法，迁移了学习方法.

5.布置作业，拓展训练

设计意图：两道作业题，既有对本课所学知识的进一步巩固，又有一定的拓展推广.第（1）题要求学生先猜想增根，进而求出具体的m的值，存在多解的情况.第（2）题中“解为正数”即分式方程是有解的，而且解为正数，可以转化为不等式，从而解决问题.

三、教后反思与启示

1.剖析求解过程，让疑难问题的解答变得有章可循

以本课为例，在对分式方程进行求解时，有的学生仅仅注意到增根使得分式方程分母的值为0，却忽视了其同时必须是分式方程转化后的整式方程的解；在对分式方程无解进行讨论时，有些学生仅仅注意到有增根这种情况，却忽视了分式方程转化后的整式方程本身也可能存在无解的情况.究其原因，学生对分式方程的求解过程分类讨论不全面，不能完全站在客观、理性的角度去分析问题.如果把整个求解过程比作一根长绳，对其解的情况的讨论就好比顺藤摸瓜式地去探寻绳子上每一个节点.在数学学习中，按部就班地对求解过程进行细致剖析，可以快捷地找到问题的症结所在，为一些疑难问题的解决提供了可以遵循的思维路线，使得学生的思维有了着陆点，从而大大地提升了解题的效率.

2.强化过程教学，是实现学生深度学习的有效手段

深度是需要有过程保证的，无法想象一个简略的学习过程会是深度学习，因此在设计深度学习的时候，要充分丰富知识的发生过程，以让学生的思维有足够的空间.以分式方程的求解为例，有的学生能比较熟练地求得方程的解，但根据解的情况讨论字母系数的取值时不知如何下手.学生在解方程时确实是一步步按照规范要求去做，却为何仍然不能举一反三，做到灵活应用？究其原因，教师教的往往只是解分式方程的“一般套路”，学生学到的也只是一个固定模式，对求解过程中的每一步鲜有深入的考究.以问题3的（2）为例，在解分式方程的第一步去分母时就要考虑“x-2”的值可能等于0的问题，这便是增根的由来；同时，在将整式方程“（1-m）x=2”化为“”时首先要考虑“1-m”的值可能等于0的问题，这便是整式方程无解产生的地方，同时导致分式方程无解.实践证明，设计基于过程体验与探究的教学，注重问题导向，强化迁移意识，通过丰富的变式实例，有效地促进了学生深度学习.

3.通过教学重心下移，实现了教学过程的由空到实

分式方程解的有关问题，广泛存在于学生的学习之中，然而如何进行教学设计，进而最大限度地解决学生学习的困难却是一个不小的挑战.为了使更多的学生有所收获，就要让教学重心下移，把思考的任务下放给学生，充分给予学生思考的空间与展示自我的机会，抛开问题本身的繁杂抽象，从充实强化具体的过程教学入手，促使学生在不断丰富的过程中勇敢探究，学习过程便实现了由空到实的目的.本节课在探究对增根的认识时，先让学生从大胆猜想开始，在初步建立认知冲突后进行实际求解验证，最后对主要结论进行总结升华，进而实现了教学过程的丰实与学生核心素养的提升.