基于数学学科核心素养的教学设计——以“全等三角形的判定”为例

广东省广州市白云区同和中学 李卫华

当下对核心素养的关注已成为教育领域的一个新热点，数学教育也不例外.核心素养的课程逻辑从课程育人到育人为本，教师更应该思考的是：学生学了某节课后，到底学到了什么？除知识外，还有哪些收获？本文立足于教学实践，通过课堂教学案例“全等三角形的判定”，谈谈基于数学学科核心素养下的数学教学设计方案.

一、问题的提出

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出数学教学中应特别重视的10个重要能力，这十个核心概念总体上提出对学生数学学习的基本要求，更是学生在数学学习过程中关键、必要的基本素养.所谓数学学科核心素养，简单来说就是满足学生终生发展和社会发展所必备的、关键的数学素养，包含数学化、运算、推理、意识、思想方法及情感态度价值观.总之，初中数学教学要树立以发展学生数学学科核心素养作为教学导向的意识，为学生构建能够培养核心素养的数学教学情境.

笔者认为，培养学生的数学学科核心素养，关键在于要将其严格落实在实际教学中，同时要按照核心素养的相关要求进行数学课程的设计.下面以“全等三角形的判定”设计为例，分享笔者的实践与思考.

教材中三角形全等的5种判定方法，是作为基本事实提出来的，常规的教材处理：“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”各一课时.若这样处理教材，学生很难理解为什么需要三个条件，不知道如何去选择条件，不利于培养学生的数学思维.笔者在教学设计中遵循启发式教学原则，创设问题情境，设计一系列活动，引导学生动手操作、探索交流、发现结论.根据初中几何教学要求及现阶段学生实际，在理解了全等三角形的概念的基础上，把三角形全等的五个判定集结在一节数学课中进行教学，引导学生进行相应的总结.学生对三角形全等的判定的认识，由整体到局部再到整体.

数学课程中常见的命题构成了中学数学知识结构的核心，其主要形式是公式、定理、原理、法则.一方面要引导学生对全等三角形进行相应的观察和思考，培养数学化这一核心素养，另一方面，要重视判定中的思维逻辑这条主线，培养学生推理的数学学科核心素养.数学规则课的教学过程包括规则的习得、转化和应用等三个阶段.数学规则课的教学操作模式：问题情境—建构规则—变式练习—获得规则—运用规则—反馈评价.

基于以上认识，笔者设计了规则课型的“非线性”教学法：问题情境—建构规则—疑点突破—获得规则—运用规则—反馈评价.这一教学策略有利于暴露学生思维的过程，构建三角形全等判定的整体知识.

二、“三角形全等的判定”新授课的创新设计

笔者秉持“数学教育要以理性思维育人”的教育思想，崇尚“数学教学要为思维而教”的教学观，将教学过程分为以下四个环节：

（一）创设情境，提出问题.

创设有意义的数学问题情境，不仅能够激发学生对所学知识的积极性，同时能够引起学生的思考，最后解决数学问题.

图1

问题1：如图1所示，小明家衣柜上需要镶嵌两块全等三角形作为装饰，但其中有一块玻璃打碎成三块，若到玻璃店配一块完全一样的玻璃，小明该怎么做？

教学意图：引导学生分析三角形中的基本元素，三条边与三个内角.

问题2：假如小明家衣柜上只有一块三角形的装饰玻璃，小明不小心将这块玻璃打碎成三块玻璃，要想到玻璃店去配一块相同的玻璃，那么最简单的方法是小明带哪块玻璃去玻璃店呢？

教学意图：引起认知冲突，无法进行运算与推理，体验判定定理学习的必要性.在问题中通过如何配到相同的玻璃这一情境来激发学生对本节课所学知识的兴致，同时能调动学生运用以往的学习经验进行数学问题的解决，为思维教学做好相应的教学基础.

（二）探究新知，构建规则

思维行为表现主要在于学生深入思考问题，在对比的前提下做出相应的决策，集合比较、评价、证明等教学行为，充分调动学生的数学思维.

师：在问题2中，要检验三角形是否重合，用概念难以做到，因此考虑通过考察三角形的边和角去判定三角形是否全等，而且希望判定的条件能够尽量少.我们知道，三角形有3条边、3个角，内角和为180°，任何两边之和大于第三边.若我们以边和角的元素个数由少到多，可能有哪些组合？

问题3：考虑一个元素，情况怎样？

（1）单纯考虑边.

生1：显然，已知一条线段并以这条线段为边可以作无数个三角形.

（2）单纯考虑角.

生2：我发现已知一个角，能作无数个三角形.我们手上的三角板，都有一个直角，但不一定都能重合.

生3：已知一个角或一条线段，可以画出无数个三角形，同桌之间画的三角形也不能重合.

教学意图：引导学生进行动手操作和观察，学会满足一个条件对应相等时不能保证两个三角形全等.

问题4：考虑两个元素，情况怎样？

（1）单纯考虑边.

生4：若线段AB=2，BC=3，求作△ABC，线段AC的长的范围是1＜AC＜5.所以线段AC的值有无数个，显然可以构造无数个三角形.

（2）单纯考虑角.

生5：已知两个角，能作无数个三角形.我们手上的三角板，有一个是60°，一个是30°，但它们不一定重合.

（3）同时考虑边和角.

生6：如图2，固定AB和∠CBA′，点C是射线BA′上任意一点，这样的△ABC有无数个.

图2

教学意图：各个小组的学生根据教师指定的教学内容进行探究，最终得出满足两个条件对应相等的两个三角形不一定是全等的.

问题5：考虑三个元素，情况怎样？

（1）单纯考虑边.

任务1：已知线段a、b、c，作△ABC，使得AB=c，AC=b，BC=a.

图3

生7：作这个三角形，需要确定该三角形的三个顶点，并且需要一个个进行，第一个：画一条射线；第二步，在射线上截一条线段，等于已知线段；第三步：弧相交.但要注意弧的交点有两个，选取其中任意一个即可，这主要是因为它们是成轴对称的.

（2）单纯考虑角.

生8：已知三个角，能作无数个三角形.比如，我们手上的三角板，有一个是60°，一个是30°，一个是90°，但它们不一定重合.

生9：如△ABC，平移AB得AB∥A′B′∥A′′B′′，所以∠CBA=∠CB′A′=∠CB′′A′′，∠CAB=∠CA′B′=∠CA′′B′′，明显，△ABC与△A′B′C不重合.

图4

（3）同时考虑边和角.

师：请看刚才所老师作的△ABC，若已知AB、AC，那么一个已知角和这两边属于哪些类型？

生10：若是∠A，是它们的夹角，若是∠B或∠C，则是其中一条已知边的对角.

任务2：作△ABC，使得AC=b，BC=a，∠C=∠1.

任务3：作△ABC，使得AC=b，AB=a，∠C=∠1.

生11：任务2得到的三角形为两个成轴对称的三角形，而任务3得到的为两个大小不同的三角形.

不少学生画不出任务3的图形.若从核心素养这一角度来看待这部分的数学教学，就需要教师为学生设计符合教学实际的体验活动，如脚手架，笔者对上述任务3进行相应补充，并开展以下教学活动：

第一步：为学生准备一套三节折尺，然后让学生自己去“做”.要求学生制作折尺中在第一节与第二节中不会变化的一个角，之后让第三节折尺围绕连接点进行转动，在转动时学生发现其与第三条边可能会出现两个交点，这也就说明在“边边角”这一情况下，可能会出现两个形状不同的三角形，显而易见，这两个三角形不是全等三角形.

第二步：让学生离开做的环节进行相应的思考，这时候学生的思维经过加工就形成了对刚才学习活动的表象，笔者要求学生在小组内交流，说明“边边角”无法证明三角形全等.证明的过程中，离不开对数学语言的应用，结合相应的动画，也可以通过在草稿纸上画相应的图，表现方式越多，说明学生对本节课的知识理解角度越多.

教学意图：一方面，培养学生的动手实践能力；另一方面，培养学生动脑方面的认知能力，体现体验式的教学过程，以此来提升学生的思考能力，逐步生成关于三角形不全等判定的表象，进一步提升学生数学抽象、数学推理的核心素养.

师：根据上述学习得知，已知一条边和两个角，类型有两种，一是这条边为已知两角的公共边，二是这条边为其中一角的对边.

任务4：作△ABC，使得AB=a，∠A=∠1，∠B=∠2.

任务5：作△ABC，使得AB=a，∠A=∠1，∠C=∠2.

巡视发现，学生很快完成任务4.

生12：任务5中，只是把∠C换成∠B，∠B=180°-∠A-∠C，因为∠A和∠C固定，其实就是∠A和∠B固定，化归为任务4.

教学意图：各小组的学生按照教师指定的内容进行探究，培养化归思想.

问题6：笔者向学生提出，如果有四对元素对应相等，怎么考虑这个问题？

生13：因为四对元素对应相等，对于三角一边，其实可以简化成上面“考虑两角一边”的情况；对于两角两边对应相等，既可以简化成上面“考虑两角一边”的情况，也可以简化成两边及两边的夹角对应相等；对于一角三边对应相等，可以简化成三边对应相等或两边及两边的夹角对应相等.

生14：对于五组或六组元素对应相等，同样可以简化成三组元素对应相等的情况.我们判定两个三角形全等时，最多考虑三组元素相等就够了.

教学意图：让学生思辨三角形全等至少要满足3个要素的过程，以数学知识产生、发展来创设相应的数学问题情境，让学生理解数学知识的发现过程，学习数学家探究数学知识的思想及方法，以此来培养学生对数学知识的再发现，这样的教学方法对学生在几何命题上的获得是十分有效的.

（三）疑点突破，拓展提升

问题7：通过对△ABC进行观察和分析，我们能从另一个侧面理解三角形全等的条件是三个吗？

生15：若不关注边BC，那么对∠B和∠C也就不用关注，这时候△ABC的形状及大小没有发生改变，换句话说，AB、AC这两条边及其夹角直接决定△ABC的形状及大小，基于此也就推断出通过两条边及两条边的夹角即可确定一个三角形，同时就明确“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”这一数学基本事实，还可用这个基本事实推导出三角形全等的其他判定定理.

教学意图：让学生从另一个角度思考数学知识的获得，首先确定基本事实知识，让学生更进一步认识人类发现数学知识的全过程，学习数学家探究数学知识的思想及方法，以此来培养学生对数学知识的再发现.

问题8：回顾任务3，作△ABC，使得AC=b，AB=a，∠C=∠1.画出两个一大一小的三角形.若把a取更短些，结论又是怎样？

生18：可能作出大小不同的三角形；a取很小时，与射线CB无交点，作不出三角形；也可能只作出一个三角形，这个三角形为直角三角形.

图5

生19：若AB⊥BC，其中b为点A到射线CB的距离，以点A为圆心、a为半径的弧与射线CB只有1个交点，因此只能作1个三角形；当a＞b时，以点A为圆心、a为半径的弧与射线CB有2个交点；当a＜b时，以点A为圆心、a为半径的弧与射线CB没有交点，不能作出三角形.

教学意图：辨析了SSA 不能作为三角形全等的判定方法，同时引出了HL 定理.

（四）巩固提升，及时反馈

问题9：设置一些填空题.

教学意图：进一步强化学生对三角形全等条件可取性及不可取性的数学思维，能够运用几何原因表述逻辑过程，能够通过查看图形证明全等，分析其中的已知条件，写出证明，在落实和掌握中拓展数学技能.

三、初探的自我认识

核心素养的课程逻辑从课程育人到育人为本，需要教师从全局俯视教材内容，从整体上着眼于数学教学，对教材内容进行深入研究，这也在一定程度上体现数学教师的教学思想，需要大力推崇.

对于教学内容的分还是合，合成多大的一块才合适，不能千篇一律，要仔细分析内容的难度和学生的接受水平.不过，无论如何，应当尽量把学习内容整体交给学生，在主干循环的结构中展开教学，这是一个基本取向.

思维是疑问、困惑等心理行为引发的，而核心素养就是基于这样的背景进行教学.