在有限分红策略及相依风险模型下的最优分红及再保险问题
2019-12-24杨博
摘 要：文章讨论了在相依风险模型下的最优分红及再保险问题。假设保险公司承担两种呈负相关的保险业务，并且可以通过比例再保险策略降低破产概率，通过分红策略保持竞争力。同时，利用期望保费准则进行定价。文章的目标是寻找破产前最大期望折现分红策略。利用最优控制理论，给出了在两种保险业务呈负相关时的最优值函数及最优策略的具体表达形式。
关键词：相依风险;最优分红;比例再保险;Hamilton-Jacobi-Bellman （HJB） 方程
一、前言
公司价值可以定义为破产分红的期望值，最大化期望折现分红成为衡量一个公司最优化的原则。自De Finetti[1] 首次提出最优分红问题，并在离散模型下进行了研究，学者们开始在各种不同的风险模型下进行探索。例如：Asmussen和Taksar[2]在此基础上研究了当盈余过程是漂移 Brown 运动时的最优分红问题。本文假设保险公司的盈余过程是一个简单离散时间的随机游走过程，并得到了最优分红策略是边界策略 。
再保险策略是公司进行分散风险的重要手段，保险公司可以通过再保险策略将承保风险转嫁给再保险公司，并支付相应的保费。主要的再保险方式有比例再保险及溢额再保险，文献[3、4]就以最大折现分红为目标研究了这两个问题，并进行了比较。Liang[5]等人研究了在扩散逼近模型和复合泊松模型下的最优比例再保险问题。由于再保险是一种重要的控制风险的手段，故研究有再保险参与下的最优分红问题十分重要。Yao[6、7]等人就研究了在有再保险情况下的最优分红、注资问题，并加入了交易成本及破产清算值。Zhou[8]等人研究了在方差保费原则下的最优分红、再保险、注资等问题。为了使模型更贴近现实，人们开始考虑加入交易成本及比例交易费用，例如文献[9-11]。同时人们也研究了两只风险独立时的最优分红再保险问题，例如Meng[12]。
以上文献大部分是单只保险或两只相互独立的保险，但在生活中有很多是相依风险。例如，在特大自然灾害发生时，医疗索赔、死亡索赔和家庭财产索赔是息息相关的。所以讨论在相依风险下的最优分红再保险问题是十分重要的。近年来，关于相依风险的问题，各位学者进行了不断的探索，例如文献[13-15]。Bai[16]等人首次提出并研究了在相依风险下的最小破产概率问题。李亚男[17]等人在Bai等人的基础上讨论了在溢额再保险策略参与下的最优分红问题。同时，在比例再保险参与下的最优分红问题同样十分重要且具有一定的挑战性。
受上述文献的启发，本文要在相依风险模型下讨论比例再保险、最优分红问题。保险公司通过比例再保险分摊风险，降低破产概率，同时，通过分红策略以保持竞争力。本文通过寻找最大化期望折现分红得到最优策略。在期望保费原理下，采取比例再保险，寻求最优分红策略及最优值函数。本文讨论了在分红率有界时，当两只风险索赔呈负相关关系时的四种情况，同时，通过应用不同的方法给出了明确的最优值函数及最优策略。
本文的结构如下：第2节建立比例再保险和分红策略的扩散逼近模型;第3节 建立HJB方程及相关的辅助函数;第4节考虑分红率有界情形下的最优问题并找到值函数和最优策略明确的表达式。
二、风险模型与最优控制问题
记（Ω，F，Ft，P）为概率空间，其中Ft为到时刻t的信息流，它满足通常条件。为方便研究问题，我们从经典的复合泊松模型开始。假设该模型盈余过程为{R（t）}t≥0，则可做如下描述：
其中，x≥0为初始盈余，c1，c2≥0分别为业务1和业务2的保费收取速率，N（t），N1（t），N2（t）为参数为λ>0，λ1>0，λ2>0的泊松过程，{Yi，i=1，2，3…}，{Xi，i=1，2，3…}为独立同分布、正的随机变量序列，表示历次索赔，其一阶矩为，二阶矩为，其连续分布函数为FX（x）和FY（Y）。假设N（t），N1（t），N2（t），{Yi}，{Xi}相互独立，本文假定费率按照期望保费准则厘定，那么聚合保费为：
其中，η1，η1为费率参数，E 表示期望。为控制风险，公司使用比例再保险策略分摊风险。即对任意的损失Xi， Yi，由保险公司与再保险公司分别承担a1 Xi，a2 Yi和（1-a1）Xi，（1-a2）Yi，其中a1，a2∈[0，1]，则到 时刻为止，再保险公司承担的总损失为。则在期望保费准则下，再保险公司收取的聚合保费为：
其中，θi，i=1，2…且满足θi∈[ηi，1）为再保险公司的安全复合系数。则加入再保险时的保险公司的盈余过程为
考虑到利用跳模型解决最优控制问题的难度，故我们利用扩散逼近理论将其近似为期望与方差均相等的扩散过程{XtR，t≥0}，则公司的盈余过程满足如下的扩散过程
XtR=x，且{B（t），t≥0}是信息流{Ft}上的标准的布朗运动，记FB={FtB，t≥0}为该布朗运动生成的自然流
假设a1，a2是可动态调整以控制风险暴露，同时 L（t）是自0到t 时刻支付給股东的总分红。则在控制策略π=（a1π，a2π，L（t）），即在再保险和分红策略的影响下保险公司的盈余过程为
定义2.1 策略π=（a1π，a2π，L（t））为可行性策略，如果它满足如下条件
（1）分割比例a1π=a1（t），a2π=a2（t）是FB上的适应过程，且0≤aiπ≤1，i=1，2， t≥0。
（2）L（t）是FB上递增的适应过程且满足L（0-）=0 且 ΔL（t）=L（t）-L（t-）≤Xπ（t-），t≥0。
可行性策略生成的空间记为Π
控制过程Xπ（t）在可行性策略π∈Π下的破产时刻定义为
最优分红问题的目标是寻找破产前最大期望折现分红，也就是最大化下面的式子
c为折现率。定义V（x，π）=Ex （J（π）），Ex 表示初值为Xπ（0-）=x的条件期望，则计算值函数
我们目标是寻找最优值函数V（x）和最优控制策略π*，使得V（x）=Ex （J（π* ））。显然，V（x）是一个增函数且满足V（0）=0。
三、HJB方程和辅助函数
为解决最优控制问题，我们利用随机控制理论解HJB方程，得到最优值函数和最优控制策略。若V（x）在（0，∞）二阶连续可微，则V（x）满足如下的HJB方程
边界条件
V（0）=0 （3.2）
其中，l0为分红的上确界，即分红率被上界l0控制，可得
定义b=inf{x≥0，V（x）≤1}。所以，当x
类似于文献[5]，我们可得到下述定理
定理3.1 假设v（x）是二阶可微连续、递增的凹函数，且满足HJB方程 （3.1） 和（3.2），且导函数v（x）有界，则
（1）对每个策略π∈Π都有v（x）≥V（x，π），则v（x）≥V（x）。
（2）若存在策略π*=（a1*（t），a2*（t），L*（t）），使得v（x）=V（x，π*），则v（x）=V（x）并且π*为最优策略。
定理3.1的证明过程与文献[5]类似，故这里省略证明过程。
定义方程
四、两种负相关风险业务的最优值函数及最优策略
当两种相关风险业务呈负相关，也就是说lY<0时，两种保险业务的风险不可同时承担。则可得
由于当承担第一种风险，则不可承担第二种风险，即a2*=0，其值函数应满足的下面这个HJB方程
（4.1）
由于b=inf{x≥0，V（x）≤1}，故当x
（4.2）
类似与（3.3）与（3.4）式可得
（4.3）
结合（4.3）及（4.2）式可得
又由于v（0）=0，所以
则可得a1*（0）>0
4.1、a1*（0）>1
当a1*（0）>1时，意味着再保险所支付的保费要比保险公司所收取的第一种保险业务保费高很多。这时，我们可以承担第一种保险的全部保费，即认为a1*（0）=1。
定理4.1若时，值函数为
则v（x）是一个凹的二阶连续可微函数，且是（3.1）及（3.2）的解。最优分割比例为
证明：当x （4.4） 解上述微分方程，值函数为 其中，r+，r-为（4.4）式的特征方程的解。 当x>b时，v（x）<1，故此时应满足l=l0，则值函数所应满足的HJB方程为 （4.5） 由于存在分红上界l0，故，则其对应的值函数为 又因为rm>r-，故，所以b值存在。又因为时，b<0，不成立，故b值不存在。又由于rm是（4.5）的特征方程的解，故v（x）为（3.1）及（3.2）的解。 定理4.2若时，值函数为 则v（x）是一个凹的二阶连续可微函数，且是（3.1）及（3.2）的解。k1，k2由（4.7）式定义，b值由（4.8）式定义。最优分割比例为 证明：由定理4.1的证明过程可知，时，b>0，故b值存在。 当0 当x>b时，易知v （x）<0，故v（x）递减，根据v（b）=1，可得v（x）<1。其余证明过程与定理4.1的证明过程类似，故这里省略。根据（4.6）-（4.8）可得，v（x）二阶连续可微，故v（x）为（3.1）及（3.2）的解。 4.2、a1*（0）<1 a1*（0）<1，也就是说当第一种保险所收取的保费与保险公司支付给再保险公司的再保费相差较小时，则存在保险公司承担风险随着公司盈余递增而递增的过程。 当0 定理4.4若，则值函数为 则v（x）是一个凹的二阶连续可微函数，且是（3.1）及（3.2）的解。最优分割比例为 证明：结合定理4.3的证明，若，则b 对a1求导得， 当x=F（1）时 因为，故上式不成立，所以F（1）点不存在。 现假设当x>bm时，a1*（x）=a1*，则值函数满足的方程为 则其对应的值函数为 其中，为上述特征方程的负根。且满足v（bm+）=v（bm-）=1，v （bm+）=v（bm-）。故 由此可得，v（x）是一个凹的二阶连续可微函数，且是（3.1）及（3.2）的解。 参考文献 [1] de Finetti B. Su unimpostazione alternativa della teoria collettiva del rischio[J]. Scand Actuar J， 1957， 2： 433-443. [2] Asmussen S， Taksar M. Controlled diffusion models for optimal dividend pay-out[J]. Insurance Math Econom， 1997， 20：1-15 . [3] Asmussen S， H.gaard B， Taksar M. Optimal risk control and dividend distribution policies： Example of excess-of loss reinsurance for an insurance corporation[J]. Finance Stoch， 2000， 4： 299-324. [4] H.gaard B， Taksar M. Controlling risk exposure and dividends payout schemes： Insurance company example[J]. Math Finance， 1999， 9： 153-182. [5] Liang Z B， Yuen Kam C. Optimal dynamic reinsurance with dependent risks： Variance premium principle[J]. Scand Actuar J， 2016， 1： 18-36 [6] Yao Dingjun， Yang Hailiang， Wang Rongming， Optimal risk and dividend control problem with fixed costs and salvage value： Variance premium principle[J]. Math Econom， 2014， 37： 53-64. [7] 姚定俊，汪荣明，徐林.破产终端值影响下保险公司最优分红、注资和溢额再保险策略[J].中国科学：数学，2017，47（08）：969-994. [8] Zhou Ming， Yuen Kam C. Optimal reinsurance and dividend for a diffusion model with capital injection： Variance premium principle[J]. Math Econom， 2012， 29（2）：198-207. [9] Yao D J， Yang H L， Wang R M. Optimal dividend and capital injection problem in the dual model with proportional and fixed transaction costs[J]. Eur J Oper Res， 2011， 211： 568-576. [10] Yin C， Yuen K C. Optimal dividend problems for a jump-diffusion model wih capital injections and proportional transaction costs[J]. J Ind Manag Optim， 2015， 11： 1247-1262. [11] Bai L H， Hunting M， Paulsen J. Optimal dividend policies for a class of growth-restricted diffusion processes under transaction costs and solvency constraints[J]. Finance Stoch， 2012， 16： 477-511. [12] Meng Hui， Zhou Ming， Siu Tak Kuen. Optimal dividend-reinsurance with two types of premium principles[J]. Probab Eng Inform Sc， 2016， 30，224-243.doi：10.1017/s0269964815000352. [13] Cossette H， Marceau E. The discrete-time model with correlated classes of business[J]. Insurance Math Econom， 2000， 26： 133-149 [14] Wang S. 1998， Aggregation of correlated risk portfolios： Models and algorithms[J]. Proc Casualty Actuar Soc， 85：848-939 [15] Yuen Y C， Guo J Y， Wu X Y . On a correlated aggregate claims model with Poisson and Erlang risk processes[J]. Insurance Math Econom， 2002， 31： 205-214 [16] Bai L H， Cai J， Zhou M. Optimal reinsurance policies for an insurer with a bivariate reserve risk process in a dynamic setting[J]. Insurance Math Econom， 2013， 53： 664-670. [17] 李亚男，柏立华，郭军义.帶相关风险的保险公司的最优分红和再保险问题[J].中国科学：数学，2016，46（08）：1161-1178. [18] 杨潇潇，梁志彬，张彩斌.基于时滞和多维相依风险模型的最优期望-方差比例再保险[J].中国科学：数学，2017，47（06）：723-756. [19] Yuen Kam C， Liang Z B， Zhou M. Optimal proportional reinsurance with common shock dependence[J]. Insurance Math Econom， 2015， 64： 1-13. [20] Ming Z Q， Liang Z B. Optimal mean-variance reinsurance with common shock dependence[J]. ANZIAM J， 2016， 58：162-181 基金项目：江苏省研究生科研与实践创新计划项目（KYCX18_1386）。 作者简介：杨博（1995-），女，山东德州，硕士研究生，研究方向：金融数学。
