轻松搞定用基本不等式求最值

江苏省常州市第一中学 何 华

教材上直接给出定义：

这样简单的一个不等式，我们应该如何提炼出其中的奥妙呢？应用基本不等式可以来求某些函数的最值，那么在什么情况下会让你想起用，并能正确使用呢？下面结合具体的题目来聊聊咱们如何轻松搞定.

题13）的最大值为____.

题2若则a+b的最小值是_______.

题3在如图1所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为__________m.

图1

题4若△ABC的内角满足sinA+则cosC的最小值是_____.

莞然一笑见“正数”

应用基本不等式求最值，要注意满足条件（1）：“一正数”，即在使用基本不等式时，各项必须为正数或0.

题1中因为-6≤a≤3，故有3-a≥0，a+6≥0；题2中由于真数大于0有从而得到a＞0，b＞0；题3中正数条件是显然的；题4需要用正弦定理与余弦定理化角为边，正数条件也就显然了（此时的心态是：我一见你就笑，你那正数条件太美妙，有你的出现，咱就联想基本不等式）.没有正数条件的，简单，咱就转化呀，化负为正呗！当然，咱也要防止如下“腹黑”题的出现.

“腹黑”题1求函数的值域.

●解当x＞0时2，当且仅当即x=1时等号成立.当x＜0时，化负为正，-2，当且仅当，即x=-1时等号成立.所以函数的值域为（-∞，-2]∪[2，+∞）.此题“黑”在x正负未定.

会心一笑寻“定值”

应用基本不等式求最值，要注意满足条件（2）：“二定值”，即使用基本不等式进行放缩，最后所得到的值必须是一个定值.

题1中（3-a）+（a+6）=9，和为定值；题2中可变形得3a+4b=ab，则所以积为定值；题3中设矩形的另一边长为y，则，所以x+y=40，和为定值；题4要进行转化得，有积为定值.看到有定值条件的，咱就要会心一笑了，这定值条件太美妙，有你的出现，基本不等式.应用基本不等式解题方法多样，技巧强.有些还需要将所给表达式进行恰当的变形与转化，然后才能使用基本不等式来求最值.

“腹黑”题2已知x＜2，求f（x）=的最值.

分析由x＜2，可得分母2x-4=2（x-2）＜0（一笑），分子上也可以配方得到（x-2）2+1，再对函数式进行分离可得，出现积为定值（二笑）.

●解当且仅当即x=1时等号成立，故有最大值-1，没有最小值.

回眸一笑验“相等”

应用基本不等式求最值，要注意条件（3）：“三相等”，即使用基本不等式时，等号必须能够取到.如果a，b是正数，那么（当且仅当a=b时取“=”）.

“腹黑”题3求函数的最小值.

分析直接用基本不等式时，等号成立的条件为，即x2=-3，无解，所以等号不可能成立（此时的心态是：我回眸一笑，哼，想“黑”我，没门！），故不能直接用基本不等式求最小值，需另辟蹊径.当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内或不存在时，就不能使用基本不等式求出最值，而是根据变量的范围用函数的单调性或用导数法求解.

●解令则2），易证函数在t∈[2，+∞）上是增函数，所以t=2时，即x=0时

“腹黑”题4若正数x，y满足2x+y=1，求的最小值.

错解因为1所以故的最小值

●分

●析这里，当且仅当2x=y时等号成立，而，当且仅当x=y时等号成立，这两个式子不可能同时成立，因此不是最小值（此时的心态是：我回眸一笑，想“黑”我，还是没门！）.一道题，多次利用基本不等式，要检验等号成立的条件是否相同，否则等号不成立.

正解，当且仅等号成立.又2x+y=1，联立可解得故的最小值为

好了，前面的三个条件可以简称为：一正二定三相等.上面的三笑，你了解了吗？咱们再来完整回顾一下解答过程.

题1：因为-6≤a≤3，所以y=，当且仅当3-a=a+6，即时等号成立，故答案为.

题2：由，得3a+4b=ab，则所以（a+b）·当且仅当，即时等号成立，故其最小值是

题3：由图形关系可知三角形相似，设矩形的另一边长为y，则所以x+y=40，又有当且仅当x故=矩y形时面等积号最成大立时，x则x的+值x为=2400.，即x=20，

题4：设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则由正弦定理得故当且仅当即时等号成立.