不用韦达定理用抛物线的参数方程设点简解一类抛物线题

甘志国

(北京市丰台二中 100071)

题1 (2019年高考北京卷理科第18题)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).

(1)求抛物线C的方程及其准线方程；

(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N，直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

解(1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1)，可得22=-2p·(-1)，解得p=2，所以抛物线C的方程是x2=-4y，其准线方程是y=1.

x2+4kx-4=0 ①.

还可得2s,2t是关于x的一元二次方程①的两个根，所以2s+2t=-4k,2s·2t=-4，即

s+t=-2k,st=-1 ②.

还可得

所以以线段AB为直径的圆的方程是

即(x-2k)2+(y+1)2=4k2+4.

令x=0，可得y=-3或1，所以以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点，且这两个定点的坐标是(0,-3)与(0,1).

若以AB为直径的圆经过y轴上的定点D(0,n)，则DA⊥DB，即

解得n=-3或1.

所以以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,-3)与(0,1).

注(1)第(2)问两种解法中均没用到条件“斜率不为0”，所以把该条件去掉后所得结论仍然成立.事实上，当“直线l的斜率为0”时，可得点M与点A(或点B)重合，其坐标是(-2,-1)；点N与点B(或点A)重合，其坐标是(2,-1)，进而可求得以AB为直径的圆的方程是x2+(y+1)2=4，它也经过y轴上的两个定点(0,-3)与(0,1).

(2)第(2)问第一种解法是常规解法(直线与抛物线方程联立后用韦达定理求解)，第二种解法是不用韦达定理而用抛物线的参数方程设点来求解，运算量要小很多.

题2 (2018年高考北京卷理科第19题)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.

(1)求直线l的斜率的取值范围；

解法1 (1)由抛物线y2=2px经过点P(1,2),可得4=2p,所以抛物线C的方程为y2=4x.

由题意可知直线l的斜率存在且不为0，因而可设直线l的方程为y=kx+1(k≠0)．

由Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k<0或0

又因为直线PA,PB均与y轴相交，所以直线l不过点(1，-2)，从而k≠-3.

所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1)

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).

解法2 (1)同解法1，可求得抛物线C的方程为y2=4x，可设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).

由Δ=(-4)2-4×k×4>0,解得k<0或0

又因为直线PA,PB均与y轴相交，所以直线l不过点(1,-2),从而k≠-3.

所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).

解法3(1)略.

(2)由(1)的答案知可设A(s2,2s),B(t2,2t),再由三点M，N，Q(0，1)共线，可得2st=s+t.

评注(1)解答本题第(1)问时，务必仔细认真，要注意“因为直线PA，PB均与y轴相交，所以直线l不过点(1,-2)，从而k≠-3”.求取值范围的问题，所求得的范围不能多也不能少，这就要把题目中的条件(包括隐含条件)用干净用彻底，有时还需要检验.

(3)解法1与解法2都用到了韦达定理，而解法3不用韦达定理而用抛物线的参数方程设点来求解，运算量要小很多.

题3 (2019年北京市丰台一模)已知抛物线C:y2=2px过点M(2,2)，A,B是抛物线C上不同两点，且AB∥OM(其中O是坐标原点)，直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q.

(1)求抛物线C的准线方程；

(2)求证：直线PQ与x轴平行.

题4 (2019年北京市昌平二模)已知抛物线G:y2=2px(p>0)过点M(1,-2)，A,B是抛物线G上异于点M的不同两点，且以线段AB为直径的圆恒过点M.

(1)当点A与坐标原点O重合时，求直线MB的方程；

(2)求证：直线AB恒过定点，并求出这个定点的坐标.

解(1)略.

(2)由抛物线G:y2=2px(p>0)过点M(1,-2)，可求得抛物线G:y2=4x，因而可设A(s2,2s),B(t2,2t).

因而直线AB恒过定点，且这个定点的坐标是(5,2).

题5 (2019年北京市东城二模)已知点P(1,2)到抛物线C:y2=2px(p>0)准线的距离为2.

(1)求C的方程及焦点F的坐标；

(2)设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A,B，直线PA,PB分别交x轴于M,N两点.求|MF|·|NF|的值.

解(1)(过程略)抛物线C的方程为y2=4x，焦点F的坐标为(1,0).

(2)可设A(s2,2s),B(t2,2t)(0

所以|MF|·|NF|=(s+1)(t+1)=2.

(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

(2)求证：A为线段BM的中点.

图1

图2

定理如图2所示，若过点D作抛物线C:y2=2px的两条切线DP,DQ(P,Q均是切点)及割线l交抛物线C于不同的两点M,N，再过点M作切线DQ的平行线分别交直线QP,QN于点A,B，则A为线段BM的中点.

证明可设P(2ps2,2ps),Q(2pt2,2pt)(s≠t)，可求得切线DP:x-2sy+2ps2=0,DQ:x-2ty+2pt2=0，进而可求得两条切线DP,DQ的交点D(2pst,p(s+t)).