《流浪地球》中的弹弓效应原理

陶汉斌

(浙江省金华第一中学 321015)

从天体的引力场来看，被加速物体的势能和动能在相互转化，并满足机械能守恒，所以小物体进入天体引力场和离开天体引力场时，相对于天体的动能是相同的.但是天体本身就在运动，小物体离开引力场的位置发生了变化，这就导致小物体离开引力场后，相对于其他参考系的速度有变化，只要精确控制飞行器切入引力场的角度，就可以实现加速.

一、构建引力弹弓的直观物理模型

为了理解引力弹弓，我们首先需要大家设想一个简单的物理模型：质量很大的球和质量很小的球发生弹性碰撞.比如一个铅球和一个乒乓球碰撞，两个球都有很好的弹性，碰撞过程不会损失能量.假如最初铅球是不动的，乒乓球以速度v0撞向铅球，会发生什么呢？显然，由于铅球质量非常大，碰撞后铅球几乎还是静止的.而乒乓球会发生反弹，并且反弹的时候速度大小还是v0，保持不变，如图1所示.

现在，我们让铅球也动起来：如图2所示，假如最初铅球是朝向乒乓球以速度v1运动的，乒乓球还是以速度v0飞来，又会发生什么呢？

我们不妨这样设想：假如有个小人坐在铅球上，他会感觉铅球是静止的，而乒乓球向自己飞来的速度是v1+v0，根据刚才的讨论，当乒乓球反弹后，他会观察到乒乓球离开自己的速度大小不变，还是v1+v0.也就是说：在铅球上的人看来，乒乓球向右反弹的速度是v1+v0，如图3所示.但是，如果我们回到地面参考系，情况就不是这样了.由于铅球本身有一个向右的速度v1，所以乒乓球反弹的速度应该是v1和v1+v0的矢量叠加，也就是说，地面上的人看来，乒乓球反弹的速度会变成2v1+v0.大家看，乒乓球来的时候速度是v0，反弹之后速度变成了2v1+v0，速度变大了2v1，如图4所示.这是因为在碰撞过程中，铅球的一部分能量转移到了乒乓球上.由于铅球的质量远远大于乒乓球，这一点能量的损失对铅球的速度几乎没有影响，但是却可以让乒乓球获得很大的速度增加.

二、阐析引力弹弓的精准物理原理

地球在靠近木星时，利用弹弓效应地球会“盗”取行木的部分能量，这对于质量巨大的木星不会造成什么影响，却能显著提高地球的速度，如此借助引力，是对推进系统的有益补充，下面我们就来阐析引力弹弓的精准物理原理.

例题质量为m的地球以相对于太阳的速度v0飞向质量为M的木星，此时木星相对于太阳的速度为u0，绕过木星后地球相对于太阳的速度为v，此时行星相对于太阳的速度为u，由于m≪M，v0，v，u0，u的方向均可视为相互平行.

(1)试写出地球与木星构成的系统在上述过程中“动量守恒”及“始末状态总动能相等”的方程，并在m≪M的条件下，用v0和u0来表示v；

(2)我们可查得木星的质量为M=1.90×1027kg，其相对于太阳的轨道速率u0=13.06km/s，而地球的质量m=5.97×1024kg，相对于太阳迎向木星的速率v0=10.4km/s，则由于“弹弓效应”，地球绕过土星后沿与原来速度相反的方向离去，求地球离开木星后相对太阳的速率增加了多少？

(3)若地球飞向木星时其速度v0与土星的速度u0同方向，则是否仍能产生使地球速率增大的“弹弓效应”，简要说明理由．

解析(1)通过分析，“弹弓效应”就其实质而言，可等效于力学中的碰撞模型，满足动量守恒和能量守恒.以u0方向为正方方向，由动量守恒和能量守恒可得

-mv0+Mu0=mv+Mu

由题意可知m≪M∴v=v0+2u0

地球离开木星后相对太阳的速率增加

Δv=v0+2u0-v0=2u0=2×13.06km/s=26.12km/s

(3)不能.理由如下：若v0方向与题中图示方向相反，则第(1)中的动量守恒方程应改为：mv0+Mu0=mv+Mu

把m≪M代入上式，则可得：v=-v0+2u0

由于|v0|>|u0|，由此便可得：|v|=|v0-2u0|<|v0|，即不能使探测器速度增大.