线性阵列DOA估计方法的研究

何 为

（广东工业大学信息工程学院，广东广州510006）

1 概念介绍

阵列信号处理是在空间中以特定方式排列一组天线以组成天线阵列，可用于检测空间信号并估计信号的数量、波达方向和位置参数等。与单根天线相比，天线阵列可以更灵活地控制天线的主瓣指向，获得更高的输出增益和空间分辨率，并且可以有效地抑制噪声和干扰。在过去的几十年中，阵列信号处理广泛应用于许多领域[1-3]，如：雷达、声纳、移动通信等。

1.1 波达方向估计

一个信源可能存在多种不同传播路径和波达方向（Direction of Arrival，DOA），经过几十年的快速发展，出现了许多DOA估计算法，如Capon法、多信号分类法（multiple signal classification，MUSIC）、旋转不变子空间法（estimation of signal parameters via rotational invariance techniques，ESPRIT）等。

1969 年，Capon[4]提出了最小方差谱估计法（Minimum Variance Spectral Estimate Method，MVM），与波束成形法相比，MVM算法在提高天线阵列的测向分辨能力方面得到了突破性进展，大大提高了目标的空间分辨率。然而，这两种方法依然没有在估计性能方面取得质的突破。

1986年，Schmidt[5]提出了MUSIC多信号分类法，该算法核心是信号子空间与噪声子空间正交，由于MUSIC算法的提出，天线阵列的分辨能力得到极大的提升。

1989年，Roy[6]提出了旋转不变子空间算法，这是一种低复杂度的方法，该方法利用子空间信号的不变特性来进行DOA估计，在没有峰值搜索的情况下，可以直接给出信号的波达角度估计，而且还减少了计算量。

1.2 阵列模型

一般来说，天线阵列分为线性阵列、平面阵、立体阵。本文主要研究线性阵列，其中一种是均匀线性阵列（Uniform linear array，ULA），另一种是非均匀线性阵列，互质线性阵列（Co-prime linear array，CLA）属于非均匀线性阵列。

图1 均匀线性阵列（ULA）

图2是互质线性阵列，M和N都是表示天线的数目，它们在数字上是互质的关系。显然，可以把互质线性阵列看成是由两个均匀线性阵列叠加而成的。子阵列M天线之间的间距子阵列N天线之间的间距整个互质线性阵列的天线数为M+N-1。图1和图2中的θ均为天线接收信号的角度。

图2 互质线性阵列（CLA）

互质线性阵列的主要特点是具有稀疏性，在相同天线数的情况下，互质线性阵列的孔径远远大于均匀线性阵列。

2 数据模型

假设有来自于 θ=[θ1，θ2，…，θk]的 k 个不相关、远场、窄带的源信号冲击天线阵列，天线阵列所接受的信号是平面波。为了不失一般性，图3就是以任意方式排列的天线阵列模型。假设阵列由M个全向天线组成，每个天线可视为点阵元，现信源信号从（θ，φ）方向入射阵列，入射信号可视为平面波，由此建立一个直角坐标系，参考阵元P0位于坐标系原点，θ为俯仰角，φ为方位角。第m个天线的位置为Pm（xm，ym，zm），m∈[0，M-1]。

均匀线性阵列的接收信号模型为

其中，导向向量 A=[1，ejω，…，ejω（P-1）]T，s（t）是信号向量，n（t）是高斯白噪声。

图3 阵元任意排列的天线模型

互质线性阵列有两种结构，一种是把互质线性阵列分解成两个子阵列，另一种是把互质线性阵列当成一个整体。

互质线性阵列分解成两个子阵列：子阵列1和子阵列2，接收信号模型分别为

整体的互质线性阵列的接收信号模型为

进一步简化可以写成

式（2）中子阵列1的导向向量A1=[a1（θ1），a2（θ2），…，a1（θk）]，n1（t）表示子阵列1的噪声。式（3）中子阵列2的导向向量A2=[a2（θ1），a2（θ2），…，a2（θk）]，n2（t）表示子阵列2的噪声。式（5）中总的导向向量A=[a（θ1），a（θ2），…，a（θk）]，a（θk）=「a1（θk）T，a2（θk）T」T，高斯白噪声n（t）=[n1（t）T，n2（t）T]T。式（2）～（5）中信号向量s（t）=[s1（t），s2（t），…，sk（t）]T。

3 方法分析

DOA估计方法一直是阵列信号处理领域热门的研究课题之一，目前，非均匀线性阵列的DOA估计方法已有了新的研究进展，其中一种方法是将互质线性阵列分解成两个子阵列，如图4所示。

图4 互质线性阵列的分解

这两个子阵列都是均匀线性阵列，这样我们就可以利用子阵列的均线性质，分别对子阵列使用算法处理得到需要估计的真实角度。但是这种方法也存在一些不足之处：首先是损失了自由度，自由度D的取值只能是D=min｛M-1，N-1｝，而不分解的互质线性阵列的自由度是D=M+N-2。还有精确度的损失，由于分解成两个子阵列，存在互信息量的损失，也大大降低了估计的精确度。为了更好地解释清楚这个问题，现具体举例来说明，有一个互质线性阵列，第1个子阵列的天线数M=3，第2个子阵列的天线数N=5，总的天线数S=M+N-1=7。

如果把1个互质线性阵列分解成两个子阵列，则从式（2）、（3）中可知，第1个子阵列协方差矩阵为

第2个子阵列协方差矩阵为

总的协方差矩阵为

如果不对互质线性阵列进行分解，则天线阵列接收信号总的模型为

其中C为校验矩阵，它由两个子阵列在整个互质线性阵列中的位置决定，具体来说，7根天线的互质线性阵列模型的校验矩阵为

总的协方差矩阵为

比较式（8）和式（11）不难看出，式（8）中只利用了自信息量，而式（11）中既使用了自信息量，又使用了互信息量，没有出现信息量的缺失。

在算法选择方面，MUSIC算法要进行整个角度域的搜索，还受到搜索角度步长的影响，比如真实角度θt=35.66°，设置搜索步长为0.1，这样DOA估计的精确度就低，设置搜索步长为0.001，就会增加算法的复杂度。若要估计两个角度为搜索步长的设置上既要考虑到估计的精确度又要兼顾算法的复杂度有些许困难，如果估计角度为3个或3个以上，就会更加凸显它的不足。Root-MUSIC算法能够在兼顾精确度的情况下，有效降低复杂度，因为这个算法避免了全角度域的搜索。

4 仿真与分析

本节对三种不同类型的线性阵列：与互质线性阵列相同天线数的均线线性阵列（ULA）、互质线性阵列（整体）和互质线性阵列（将其分解为两个ULA），使用Root-MUSIC算法进行仿真并分析仿真结果，主要从精确度和复杂度两方面进行分析。

定义 均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）为

其中，Q 表示信源数，L 表示 Monte-Carlos循环数，L 取 500，是第 L 次 Monte-Carlos的估计角度，θq表示真实角度。

4.1 精确度

图5和图6分别从信噪比（SNR）和快拍（Snapshots）进行了精确度的仿真。通过仿真结果分析得知，Co-prime线性阵列的效果优于ULA，在天线数目相同的情况下，Co-prime线性阵列的孔径比ULA大，孔径大会增加DOA估计的精确度，而ULA中天线之间相互距离只有半个波长，会存在相互干扰的情况。把Co-prime线性阵列作为整体进行DOA估计的精确度优于把Co-prime线性阵列分解成两个ULA，这是因为整体的Co-prime线性阵列中没有丢失互信息量，而分解成两个ULA后，只利用了自信息量，丢失了互信息量。

图5表示不同信噪比下RMSE，其仿真参数：信源数为2，入射角度为15°与30°，快拍数为200，总的天数为11，子阵列1的天线数为5。图6表示不同快拍数下RMSE，其仿真参数：信噪比（SNR）为10 dB，剩余仿真参数同图5。

图5 不同信噪比下的RMSE变化图

图6 不同快拍数下的RMSE变化图

4.2 复杂度

在现代社会，高效率始终是人们不懈的追求。在DOA估计算法中，整个算法运行时间是评估算法复杂度的重要指标。仿真结果如图7所示，它显示了不同方法的运行时间，每个方法循环了1 000次，然后取平均时间。方法1表示Root-MUSIC算法用于ULA，方法2表示整个Co-prime线性阵列上使用Root-MUSIC算法，方法3是Co-prime分解成两个ULA在使用Root-MUSIC算法。

仿真软件版本：Matlab R2016a，计算机基本配置参数：Window10 64位操作系统，CUP：Inter Xeon E5-1620，3.5 GHz，内存：64.0 GB。仿真参数同图 5。

图7 不同方法的运行时间比较

进一步分析可知，ULA的孔径很小，根据Root-MUSIC的原理，运行时间最短，效率高。互质线性阵列（2×ULA）的运行时间是最慢的，效率最低，因为互质线性阵列被分解为两个ULA分别处理，每个单独的ULA能得到等效角度，再通过真实角度与等效角度的数学关系得到候选角度，再对候选角度进行对比，最终得到DOA估计角度，上述过程都增加了算法复杂性和降低了效率。而对整个互质线性阵列进行处理的速度优于分解成两个ULA单独处理，复杂度明显降低，效率中等。

5 结语

本文介绍了阵列信号处理的基本理论，对比了三种类型的线性阵列，认为互质线性阵列结构优于ULA，主要是它的稀疏特性使其具有更大的孔径，把互质线性阵列分解为两个ULA，虽然保留了阵列的均匀特性，但是这种方法失去了互信息量并且自由度低。MUSIC算法由于搜索步长的关系，在实际应用中存在局限性。整个互质阵列使用Root-MUSIC算法可叠加两个子阵列的接收信号，可以同时获得自信息量和互信息量，并且提高了自由度，实现了精确度与复杂度的性能平衡，对指导实际应用具有极大的价值。