直板叶片振动响应试验的相似关系确定方法

2019-12-13张文笛于清文

航空发动机 2019年5期

张文笛，罗忠，于清文，王菲

（东北大学机械工程与自动化学院，沈阳110819）

0 引言

航空发动机压气机工作叶片在设计中可简化为悬臂薄板，基于薄板类模型，通常进行的振动特性分析主要包括系统固有特性（固有频率、振型）分析以及动力响应分析。其中动力响应为结构在特定或随机载荷作用下挠度随时间变化的时程曲线。叶片通常会受到离心力、气动力、热载荷、振动载荷等不均匀脉冲载荷的作用，因此进行叶片在脉冲载荷下的振动响应分析具有重要意义。由于航空发动机压气机工作叶片具有复杂的工作环境、加工复杂性以及成本、场地等的局限性，常采用相似理论中的模型对原型固有特性进行预测，而对于振动响应与载荷的相似关系的研究较少。

在相似模型动力响应研究中，Quercetti等[1]以燃料桶下落为对象，以冲击载荷下动力响应为主要参数验证了原型与模型的相似关系；Ramu等[2]采用量纲分析法确定结构模型参数的相似关系，并采用实例验证悬臂梁分别受横向和纵向阶跃载荷的挠度、应力等相似关系；Qian等[3-4]对层合板进行冲击试验，分析了弹性变形阶段与塑性变形阶段完全相似关系的预测情况，得到弹性变形阶段可以使用完全相似关系，塑性变形阶段不能使用完全相似关系的结论；陈喆等[5]在相似理论和量纲分析的基础上结合模态分析理论推导了结构固有特性、频域响应与时域响应的完全相似关系，并对机翼进行有限元仿真，得到加速度与位移的时程曲线；Wu[6-7]采用完全相似模型预测弹性支撑板在圆环动载荷作用下的弹性振动特性，根据动力学方程，采用方程分析法确定各物理量之间的相似关系。针对不完全相似的研究，罗忠等[8]针对板、壳等模型进行固有特性的不完全几何相似关系的确定；James等[9-10]将涡轮发动机叶片简化为简支矩形板，通过方程分析法预测其完全几何相似与不完全几何相似下的固有特性；又将其简化为简支薄壁复合工字梁，通过控制方程推导出静态挠度的相似律，预测原型与模型最大静挠度的相似性与准确性；Simites等[11]对线性载荷下简支板相似关系进行分析，通过对不同方程下的预测挠度进行比较，得到预测误差最小的相似关系；张玮等[12]根据有限元预测系数法对单参数畸变相似模型进行冲击响应研究，实现预测原模型的振动特性。而目前关于直板叶片在脉冲载荷下振动响应相似关系的研究较少。

本文针对直板叶片的振动响应相似模型设计问题，结合相似理论中的方程分析法和敏感性分析法，建立叶片试验模型的振动响应分析的相似关系。分析振动响应机理并通过有限元预测系数法，提高预测精度，消除尺寸效应带来的影响。通过数值仿真结果对振动响应进行验证，得到了理想的预测效果。

1 动力学模型的确定

将航空发动机压气机工作叶片简化为悬臂薄板结构，如图1所示。左端为固定端，右端为自由端，以固定端前端点为原点建立直角坐标系，定义悬臂薄板结构长、宽、厚分别为l、b、h，薄板可受集中载荷F或均布载荷q。

图1 悬臂薄板结构

根据板壳振动理论[13]可得悬臂薄板的振动微分方程

当载荷作用时间非常小时，视其为冲击情况下的振型分量

2 脉冲载荷下振动响应的相似关系

在评价脉冲响应特性时，由于频响特性只提供响应幅度随频率的分布，而结构的位移、速度、加速度以及弹性力学参数可作为表征线弹性振动问题中的主要指标，因此时域响应特性也尤为重要。且由于碰撞、爆炸、地震等工况产生的脉冲载荷加载时间十分短暂，振动响应只受到相对少数频率支配，因此本文采用时域响应作为主要指标进行相似模型的预测。

2.1 完全几何相似下振动响应相似关系

将式（1）中的Laplace算子展开，并运用积分类比法可得

下标p代表原型，m代表模型，根据相似理论中的方程分析法，原型与模型的表达式分别为

对原型的几何尺寸进行缩放，假定长度、宽度、厚度尺寸缩放比例相同，即为完全相似条件

式中：λ 为几何相似比；λl、λb、λh分别为叶片长度、宽度、厚度相似比；λx、λy为叶片上任一点横、纵坐标的相似比。

对抗弯刚度方程进行分析可得抗弯刚度的相似比

式中：λE为叶片弹性模量的相似比。

对式（4）、（5）进行比较可得

式中：λw为叶片挠度相似比；λρ为密度相似比；λω0为静固有频率相似比；λq为均布载荷相似比；λt为时间相似比。

根据相似原理，式（8）相似关系为

从而可得速度与加速度的相似关系λv、λa分别为

对于集中载荷与均布载荷，有

式中：λF为集中载荷相似比；λq为均布载荷相似比。

2.2 不完全几何相似下振动响应相似关系

压气机工作叶片在完全几何相似下，可以很好地预测动力学特性，但在实际工程及试验中，由于叶片的几何特性，厚度一般小于长度和宽度1个量级以上，缩放后会产生生产制造等诸多问题，此时需要改变模型的局部几何尺寸缩放比例，这种模型可称为畸变模型或几何不完全相似模型。畸变主要为对叶片厚度、长度或宽度的畸变。

2.2.1 对叶片的厚度进行畸变

假定 λl=λb=λ≠λh，则式（8）为

从而得到相关参数的相似比

由此可知，叶片的厚度相似比并不与长度、宽度的相似比发生冲突，λh可作为独立性条件的相似因子。

2.2.2 对叶片的长度或宽度进行畸变

与对厚度进行畸变的结果不同，当λl≠λb时，通过代入到振动微分方程中得到

通过上述的完全几何相似关系的推导，得到关于固有频率的待定相似关系的统一格式表达式为

式中：α为长度相似比加权幂数；β为宽度相似比加权幂数。

从而可知时间的相似比统一表达式为

位移的待定相似比关系为统一的表达格式为

当载荷为集中力时，联立式（12）、（18）可写为

根据文献[14]可知，对长度和宽度的敏感性分析建立精确相似关系，即可得到α与β的值。叶片的长、宽对叶片不同阶固有频率有不同影响，不同阶固有频率对应的相似关系也不同，对于时间的相似关系很难确定。通过对2种载荷下振动响应分析可知，载荷强度相同时，产生最大幅值的时间是固定的，通过对不同相似比模型仿真得到各相似比下的离散点进行拟合，再对拟合函数求导，即可得到在小范围相似比内长度对挠度产生的敏感率。由于敏感性分析只针对结构尺寸发生小范围变化的情况，因此对于大范围变化模型进行相似设计时，可以采用校正模型，原型、畸变模型与校正模型的关系如图2所示。

图2 不完全几何相似过程

在实际工程中，往往无法针对原型载荷匹配完全满足时间与强度幅值要求的模型载荷，会出现原型载荷作用时间较长，通过缩比后模型载荷加载时间无法满足模型设计要求等问题。由式（14）、（17）可知，时间的相似比由材料参数以及几何参数的相似获得，针对厚度较小的结构，在对长度、宽度缩放的同时可以对厚度进行缩小，得到更大的时间相似比，即可达到满足模型试验的设计要求。

3 脉冲载荷下振动响应预测方法验证

3.1 完全几何相似下振动响应预测

以Ti-6Al-4V钛合金作为原型材料，40Cr钢作为模型材料参数为例，原型与模型的几何参数、材料参数分别见表1、2，采用ANSYS有限元仿真软件对叶片进行动力响应做相似比的验证。

表1 原型与模型几何参数

表2 原型与模型材料参数

为了分析相似比λw、λq与时间的关系，采用2种不同类型的脉冲载荷，1种为矩形载荷，载荷强度与时间无关；另1种为三角形载荷，载荷强度与时间呈线性关系，最大载荷强度与矩形载荷强度相同，根据给出的相似关系和材料几何参数、物理参数，得到原型与模型的载荷形式，如图3所示。

图3 不同形式载荷

采用表1中原型几何尺寸在原型叶片上施加100 Pa均布载荷，通过有限元仿真得到直板叶片不考虑阻尼的瞬态振动响应，拾取自由端中点的位移曲线。2种不同形式载荷在不同加载时间下的时程曲线对比如图4所示。通过对弹性力学及振动理论的分析可知，载荷峰值的强度影响振动响应的幅值，但不影响最大峰值产生的时间与轨迹；当载荷加载时间小于叶片产生最大幅值的时间时，振动响应近似于谐波函数；对于矩形载荷，当加载时间大于叶片产生最大幅值的时间时，由于相同时间段产生冲量相同，不同加载时间的振动响应在到达位移峰值前的轨迹相同，但加载时间越长振动响应的自由振动幅值越小，这是由于载荷方向与叶片回弹方向相反，阻碍叶片运动并且此刻载荷对叶片作负功消耗叶片能量，因此叶片在自由振动时的幅值减小；当载荷加载时间过长时可视为阶跃载荷的瞬态响应部分（本文不予考虑）。对于三角形载荷，产生冲量速度与加载时间有关，由图3（b）分析可知，在相同峰值情况下，加载时间越长，产生冲量速度越小，到达叶片振动峰值时间越长，由于叶片随时间向下弯曲，时间越长弯曲产生的抵抗载荷力越大，因此加载时间加长可能无法到达该载荷峰值下的最大位移，符合图4（b）中的轨迹变化规律。由于不同加载时间产生的时程曲线轨迹规律不同，无法单独使用有限元预测系数法，因此必须通过相似比得到加载时间的近似值作为导向，再运用有限元预测系数法加以修正来保证模型的预测精度。

图4 不同加载时间下的时程曲线

根据得到的理论相似比，原型叶片施加不同加载时间时100 Pa、-2 N的2种载荷下的时程曲线预测结果如图5、6所示。其中模型载荷的相似比为0.1。从图中可见，由于几何尺寸的缩小导致尺寸效应的产生，通过选取原型与预测后时程曲线上幅值最大点或远端相位差较大的自由振动幅值来得到时间比值的修正系数，将修正系数代入到模型的加载时间中，最后得到修正后的时程曲线，保证不同阶段振动轨迹皆可得到很好的预测效果。

图5 矩形载荷预测修正曲线

图6 三角形载荷预测修正曲线

3.2 不完全几何相似验证

叶片的参数和由ANSYS仿真得到在施加均布载荷为50 Pa的加载时间及最大挠度分别见表3、4，得到拟合曲线如图7～10所示。

表3 长度变化对挠度产生的影响

表4 宽度变化对挠度产生的影响

图7 λl变化对时间拟合曲线

图8 λb变化对时间拟合曲线

图9 λl变化对位移拟合曲线

图10 λb变化对位移拟合曲线

得到多项式拟合曲线方程

计算得到其敏感性

得到多项式拟合曲线方程

计算得到其敏感性

根据精确相似关系计算方法

解得

因此得到叶片加载时间的相似关系

得到多项式拟合曲线方程

计算得到其敏感性

得到多项式拟合曲线方程

计算得到其敏感性

解得

因此得到叶片位移的相似关系

联立式（25）与（30）即可得到关于叶片振动响应中速度与加速的相似比。同样可求得叶片前2阶固有频率的相似比

本文只针对不完全几何相似有阻尼情况给出位移与加速度的时程预测图，因为完全几何相似下不考虑阻尼可以很好地看出预测曲线与原型曲线的相位差。当考虑不同材料模型预测原型的动力响应时，必须考虑阻尼带来的影响[15-16]，采用瑞利阻尼，通过任意2阶固有频率及其阻尼比即可得到质量阻尼与刚度阻尼。由于阻尼比为无量纲数，可假定理想模型的各阶阻尼比与原型的各阶阻尼比相同，将原型参数带入式（31）得到校正模型的相对应阶次的固有频率，再代入到式（32）中即可求出校正模型的质量与刚度阻尼。

式中：i、j为任意阶数；ω 为固有频率；ξ、Ψ 分别为质量阻尼与刚度阻尼；η为阻尼比。

假定前2阶固有频率阻尼比η1=0.17，η2=0.14[17]，以 λl=0.9，λb=1.1为例，施加产生最大位移时间0.0118 s和大于产生最大位移时间0.025 s的2种矩形载荷加载，分别对以上相似关系进行验证，结果如图11所示。从图中可见，模型的位移、加速度曲线可以很好地预测原型曲线，并且无明显相位差，无漏峰、错峰现象，数值仿真选取时间增量的大小是导致峰值预测结果出现偏差的原因之一，同时可以运用在时间相似比较大的工作情况下。针对完全几何相似情况，方程分析法结合有限元预测系数法提高了模型预测精确度；针对不完全几何相似情况，方程分析法结合敏感性分析法可以准确预测出原型的振动响应。