复积分及其应用

董斌斌

（河南工业和信息化职业学院基础部，河南焦作）

1.1 由复数起源到初识复变函数

18世纪以来，随着实分析的不断完善与发展，分析中的另一理论——复变函数论也在不断地发展壮大。复变函数以复数为自变量，与实分析相对应，因此可称之为复分析。复分析就在此后不久的19世纪茁壮成长，其最初的引出只是为了求解一些实积分，但随着Cauchy、Riemann和Weierstra的努力，复分析不断发展，成为了现代分析的重要研究领域之一[1]。

1.2 C-R方程的发现

C-R方程来自于Cauchy于1827年出版的论文《关于定积分理论的报告》(Memoires sur la theorie des integrales definies)(下称《报告》)。这是本应在1814年就应发表的一篇论文，却由于坡旁王朝正值机构改组而推迟了13年．在1825年9月14日送去印刷的期间，Cauchy为《报告》增添了两个注解，反映了在这一段时间内该领域的发展和Gauss在这一期间工作的影响．本文在这里将简单介绍下《报告》中C-R方程的发现．

1.3 复积分定义及复变函数的一些理论

复积分的定义对了解复变函数的性质具有重要的意义，而复变函数主要研究的内容就是解析函数．解析函数具有一个非常重要的性质：若函数解析，则解析函数在区域内可微并满足Cauchy-Riemann方程[8]。

2.1 解析函数的定义

Cauchy-Riemann方程是研究解析函数的重要工具之一[9]，是函数解析的必要条件。而解析函数又可分为单变量与多变量两大类，单变量解析函数的奇点定义和函数解析的判定如下：

2.2 求解复积分的思路与定理

3 积分的计算

上面介绍了复积分的一些计算方法，而具体如何使用这些方法则需要根据不同的积分采用不同的方法．这里将其分为两类，一为复积分的计算问题，一为利用复变函数方法来解决实积分类型的问题．

3.1 复积分的计算

3.2 实积分的计算

为解决上述实积分问题，思路就如同上面复积分的计算问题，或可通过变量代换转化为留数定理适用的情况去解决，或可根据函数的性质并引入不同的路径使其适用于留数定理，或可根据复数的虚部与实部分离积分值，进而得到需要的积分值等等．