探源溯流话高效

薛小君

摘 要 本文以函数最值的定义和性质解决近阶段的一些模拟题和浙江的高考真题为例，说明在平常的教学中要寻找最初的本源——数学概念，使其在在解题中发挥重要的作用，提高解题效率。

关键词 函数最值;数学概念;不等式;必要性先行

中图分类号：O122.3

文献标识码：A

文章编号：1002-7661（2019）26-0150-03

数学概念是对一类数学对象的本质属性的反映。下面从函数最值的定义和性质出发解决近阶段的一些模拟题和浙江的高考真题为例，谈谈函数最值概念在解题中的运用。

一、函数最值的概念和性质

人教版教材给出了最值的概念：

一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（1）对于任意的，都有

（2）存在，使得。

那么，我们称是函数的最大值（maximum value）

同理，我们可以给出函数最小值的定义。

由此可见函数的“最值”本质上就是“不等式恒成立且等号成立”。下面我们先来看一组最近几组模拟题和高考真题。

二、函数最值与不等式的相互转化

评析：1、2、3均从函数的最值的定义和性质出发，将原问题合理转化为恒成立问题。结合分类讨论或数学结合思想解决函数最值问题。从一定程度上回避了分类讨论，降低了思维成本。

现在我们继续来研究函数的最值，如果我们把上述最值的定义中条件（1）看作是一种必要性（一种范围可能更大的情况）的话，则条件（2）就是一种存在性（验证取等即可）。

这是一种有别于直接利用单调性求最值的方法，很多老师形象地称之为“算两次”。在某些题型中，如果题干给定了某些关于x的不等式恒成立的情况，求给定参数的函数的取值范围，我们就可以先取一些特值得到的不等式，即上述条件（1）必要性。

接下来验证這个不等式的取等条件，如果可以验证出来，那么这个的最值就有了充分性[即上述的存在性].这种思想的解法，在我们浙江高考以及一些自主招生题型中也是非常的常见。

三、“算两次”求最值

求所有实数，使对恒成立，注：为自然对数的底数。

解析：由题意恒成立必有：

五、缩小参数范围，避免[减少]分类讨论

若在上是减函数，当实数取最大值时，求的取值范围。

解析：对于分段函数的单调性问题，我们的常见思路都是：

（1）考虑分段函数分别在定义域内的单调

（2）考虑临界点的大小关系

这里我们可以先考虑临界点的大小关系，先缩小的范围呢！

我们要让实数取得更大的值，需要必要条件：

…以此类推

分别解得：…

即在满足的情况下，不再满足，

曾有数学大家告诫我们：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也！”本文用函数最值的定义解题的案列突出了“数学概念”在解题教学中的重要作用，让我们找寻数学最初的“模样”，不至于沉迷于题海而迷失方向。在解决问题时，要善于从概念出发，抓住问题的本质，这样就能使问题获得更加简洁更能体现数学本质的解法。