复杂环境下车辆自主决策可达集分析

杨 旭, 曹 凯, 刘秉政, 沈 鹏, 奉 柳

(1. 山东理工大学交通与车辆工程学院, 山东 淄博 255049; 2. 西安交通工程学院交通运输系, 西安 710300)

目前, 高级驾驶辅助系统(advanced driving assistant system, ADAS)的安全性验证方法中只要车辆初始状态改变即须重新进行安全性判断,并且每一次计算所得判断结果都不可能覆盖车辆的所有不确定状态,故无法保证车辆安全性验证的可靠性[1-3]．为了改进以上不足, Wu[4]、 Park[5]、 曹凯[6]等人以道路边界为约束条件建立安全等级评判标准,采用水平集完成可达集的实时近似,提出自主车辆避障问题的最优控制方法．然而，已报道的相关研究中考虑的道路环境较为简单, 且仅探讨了自主车辆在跟车环境下进行直线运动的行为特征,并不适用于具有高度不确定性的车辆机动空间．本文拟采用可达集的算法,在车辆实施超车过程中引入对向来车,以车辆行驶的相对速度以及转角作为车辆状态的控制参数,对车辆的自主决策行为进行可达集分析,以期提高算法在复杂情况下的适应能力．

1 可达集

考虑自主车辆系统模型

A=(T,I,S),

其中I⊂Rn表示所有自主车辆初始状态的集合,即初始集;T⊂Rn表示自主车辆碰撞到目标车辆的状态集合, 即目标集;S表示自主车辆的运动轨迹．

车辆自主决策中根据分析角度差异可将可达集分为前向可达集和后向可达集[7-8]．前向可达集为以车辆所在位置为起点,在预定观测时间内车辆所有不确定自主运行状态轨迹的集合; 而后向可达集(即可控集)是以目标(或障碍物)状态集合为参照的车辆不确定自主运行状态轨迹的集合;因此,对车辆自主决策的安全验证问题采用后向可达集理论分析即可保证其安全决策的可靠性和完备性[9]．

定义1在一个由车辆和目标(或障碍物)状态集确定的道路交通系统中, 假设目标(或障碍物)状态集为T⊂Rn, 则可达集B(t)∈Rn表示在时间t内和控制变量u(τ)(τ∈[0,t])的作用下,车辆所有不确定自主状态x∈T连续轨迹的集合．

图1 目标集T与安全位置的可达集B表示示意图Fig.1 Representation of target set and secure position by reachable set

根据定义1, 对于车辆的任意不确定自主状态x∈B(t), 必存在一个控制变量u和一个干扰输入d, 在经过t时段后车辆不确定自主状态x的轨迹终点必然在目标集T中．以B(t)的补集表示车辆的初始自主状态或者车辆的不确定自主状态轨迹在任意控制变量u下均不会与目标集T产生交集, 因此B(t)的补集为安全集．当车辆所有不确定自主状态轨迹均属于安全集时,车辆与目标(或障碍物)不会发生碰撞．图1为车辆目标集与安全位置的可达集表示示意图．由图1可见: 车辆状态(x11,x21,x31)和(x12,x22,x32)轨迹与目标集产生交集, 故属于可达集,此时车辆将会发生碰撞; 而(x13,x23,x33)轨迹并未与目标集产生交集, 故属于安全集．

2 系统建模

2.1 系统模型

图2 道路交通模型Fig.2 Road traffic model

以车辆行驶方向为x1轴、垂直于车辆行驶方向为x2轴建立道路交通模型, 如图2所示．

自主车辆以速度vp在双向车道上行驶, 前方为1号目标车辆,速度为ve1．对向车道为2号目标车辆, 以ve2的速度行驶．此时,自主车辆需要完成超车行为．假设目标车辆的线速度方向和角速度ωp大小不变．车辆相对运动坐标转换如下:

其中i为自主车辆的编号,x1表示车辆行驶方向坐标,x2表示垂直于车辆行驶方向坐标,x3表示自主车辆航向角．

2.2 超车策略

将自主车辆的超车行为分为变道阶段、加速阶段和返回阶段, 如图3所示．

图3 超车阶段Fig.3 Overtaking phase

通过哈密顿-雅可比方程

Dtφ(x,t)+min{0,H(x,Dxφ(x,t))}=0,x∈Rn

(1)

的黏性解确定各个阶段的可达集, 其中Dtφ(x,t)为时间导数函数,Dxφ(x,t)为空间导数函数,H为哈密顿算子,H(x,p)=maxu∈Umind∈DpTf(x,u,d)=maxu∈[-1,1]mind∈[-1,1]{p1(-v+vcosx3+ux2)+p2(vsinx3-ux1)+p3d}=maxu∈[-1,1]mind∈[-1,1]{-p1v+p1vcosx3+p2vsinx3+(p1x2-p2x1-p3)u+p3d}=-p1v+p1vcosx3+p2vsinx3+|p1x2-p2x1-p3|+|p3|,p为梯度．

为建立车辆后向可达集模型,首先确定其隐式曲面函数,然后采用水平集方法演化隐式曲面．值得注意的是, 水平集方法在演化隐式曲面时会发生快速扭结,故须重新初始化,具体原理参考文献[2]．此时后向可达集表示为

(2)

其中xf(0;x,-s,u(·),d(·))表示车辆在t=0时刻的轨迹,Ci为目标车辆的碰撞区域, 本文选取目标集为碰撞区域,U(t)为所有控制变量的集合．

假设自主车辆在加速阶段作直线运动,其动力学方程为

(3)

其中xr,yr为自主车辆的相对位置．

假设自主车辆在超车阶段和返回阶段均以恒定的线速度和角速度运动[10-12], 其动力学方程为

(4)

根据可达集定义, 由于时间影响自主车辆状态轨迹从而影响可达集范围, 故在提供超车策略之前须首先确定超车行为的各个阶段所用时间．

1) 超车时间．将超车过程所需时间进行如图4所示的分段处理．图4中tadj1为超车行为前自主车辆调整初始状态时间,ta1为变道阶段所用时间,tc为加速阶段所用时间,ta2为返回阶段所用时间,tover=ta1+tc+ta2为自主车辆由超车阶段开始到返回阶段完成所用时间,tadj2为超车行为后调整跟车距离所用时间,tall=tadj1+tover+tadj2为完成超车过程所用总时间．

图4 超车过程时间分段示意图Fig.4 Overtaking process

图5 不同时刻下2号目标 车辆的可达集Fig.5 Target vehicle reachable set 2 at different times

2) 超车决策．为了提高可达集的计算效率, 本文目标集采用圆形近似, 构建目标集

其中r为目标集的半径.

图6 变道阶段可达集Fig.6 Variable-channel stage can reachable set

时间间隔越长, 自主车辆行驶轨迹则越长,可达集就会相应延伸．2号目标车辆在t=1,2,…,8 s时的可达集如图5所示．自主车辆进行超车行为前首先须要计算2号目标车辆在tover时间内的可达集,即判断自主车辆进行超车行为时间内是否能够避免与2号目标车辆碰撞．若自主车辆初始状态位于2号目标车辆可达集内部((x1,x2,x3,vp)∈B2), 则停止超车行为, 待2号目标车辆驶过后继续超车行为; 反之则可以实施超车．

变道阶段根据自主车辆运动方程式(4)得到1号目标车辆的可达集, 如图6所示, 其中实心区域代表目标集, 直线代表自主车辆跟车3 s内的可达集边界, 圆曲线表示自主车辆开始超车阶段时可达集边界．若自主车辆在Ba处开始超车阶段,则会与1号目标车辆发生碰撞,此时须将初始状态调整到Bb处再进行超车．自主车辆状态由Ba调整到Bb所用时间记为tadj1．

加速阶段自主车辆不仅须要超越1号目标车辆, 而且须要预留出安全距离(即相对距离), 以避免返回后与1号目标车辆碰撞,该阶段距离如图7所示．图7中L0为1号目标车辆的长度, ΔL1为预留的安全距离, ΔL2为自主车辆在ta1时间内直行的距离．

图7 加速阶段距离Fig.7 Acceleration phase distance

《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第四十三条规定: 同车道行驶的机动车,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．由于加速阶段所考虑的安全距离主要是返回阶段完成后自主车辆位于1号目标车辆前方时两车之间的安全距离, 故假设自主车辆完成超车行为后速度为vp1, 此时1号目标车辆以ae1=-3.98 m·s-2的加速度制动时所需要的安全距离为ΔL1=ve1|vp1-ve1|/3.98, 得到加速阶段自主车辆行驶相对距离ΔL=ΔL1+L0+ΔL2=ve1|vp1-ve1|/3.98+L0+πωp/4．

图8 超车过程流程Fig.8 Overtaking process

返回阶段自主车辆运动方式与超车阶段一致．返回阶段结束时超车行为完成, 但是超车过程并未结束．在前方无障碍情况下自主车辆仍须保持加速阶段结束时的较高车速, 直至与1号目标车辆保持安全车距．返回阶段完成直至两车保持安全车距行驶所用时间为tadj2．

自主车辆在超车行为开始前首先计算2号目标车辆可达集,在保证自主车辆初始状态满足(x1,x2,x3,vp)∈B2后再进行超车行为,超车过程流程如图8所示．

3 仿真结果

图9 各车辆在变道、加速和返回阶段的行驶轨迹Fig.9 The driving trajectory of the vehicles during the lane change, acceleration and return phase

为了验证本文方法的有效性, 假设vp=50 m·s-1,ve1=40 m·s-1,ve2=40 m·s-1,ωp=3.55 rad·s-1． 1号目标车辆与自主车辆同车道同速度方向且位于自主车辆前方30 m处(可达集凹口处), 此时2号目标车辆正位于另一车道的960 m处且与自主车辆反向行驶, 计算各阶段下各车辆的轨迹, 如图9所示. 图9(a)显示自主车辆由(50,1.88)处开始变道阶段,直到位于(180,5.6)处变道阶段结束．在此期间,1号目标车辆向前行驶到(192,1.875)处,2号目标车辆由(960,5.6)处行驶到(848,5.6)处．图9(b)显示当自主车辆行驶至(380,5.6)处时完成加速阶段．在此期间,1号目标向前行驶至(352,1.875)处,此阶段自主车辆安全超越1号目标车辆,2号目标车辆行驶至(688,5.6)处与自主车辆相距308 m．图9(c)显示自主车辆由(380,5.6)处开始进入返回阶段,直至到达(510,1.875)处返回阶段结束．在此期间,1号目标车辆行驶至(464,1.875)处,2号目标车辆行驶至(576,5.6)处,至此超车行为结束．由图9可见,在整个超车行为中自主车辆轨迹与目标车辆轨迹均无相交,表明以可达集作为自主车辆超车行为的安全性验证方法可以有效提高自主车辆驾驶状态的安全性．

4 结论

本文以超车过程中对向来车作为道路环境,采用可达集作为自主车辆安全性验证的基础,通过哈密顿-雅可比方程的黏性解对自主车辆的初始状态经行调整,实现自主车辆的超车行为．由于在建模过程中充分考虑到车辆的相对位置、相对速度以及航向角对安全性的影响,故本文方法能有效提升对道路环境的估计精度,同时拓展了可达集分析模型的复杂度．在下一步工作中,将对道路环境进行更复杂的划分,并探究弯道、十字路口等不同约束条件下可达集的计算方法．