基于新的时域三点法的机床主轴回转误差研究*

2019-11-27魏许杰王红军

组合机床与自动化加工技术 2019年11期

魏许杰，王红军，王泽

(北京信息科技大学 a.机电工程学院；b.现代测控技术教育部重点实验室，北京 100192)

0 引言

主轴作为数控机床的核心部件，主轴的回转精度直接影响着工件的圆度误差、表面粗糙度等指标[1-2]。因此对于主轴的回转误差研究十分重要。主轴回转误差是评价机床的重要指标，而回转误差通常与主轴的圆度误差混合在一起，因此需要对采集到的原始数据进行误差分离得到纯回转误差[3-4]。

目前国内外最常用的误差分离方法有：三点法误差分离方法，该方法需要利用离散傅里叶变换的时延相移性质进行2次复杂的傅里叶变换，但不可避免的会引起谐波抑制的问题[5-8]。雷贤卿提出了基于3点法圆度误差分离技术的新算法——矩阵算法，但权值系数的选取对结果有一定影响[9]。美国Lion公司的主轴回转误差分析仪采用纳米级别的标准球对主轴回转误差进行评定，可以较为精确的测量出主轴回转误差[10]。本文采用新的时域三点法对主轴回转误差进行分离，避免复杂的傅里叶变换引起的谐波失真问题，简化了运算过程。根据计算过程的不同，可以优先分离圆度误差、优先分离主轴回转误差或同步分离主轴回转误差和圆度误差，实验结果表明该方法的分离效果优于传统的误差分离方法。

1 新的时域三点法的算法理论

如图1所示，3个固定的电涡流位移传感器的测量方程为：

A(n)=r(n+a0)+δx(n)cos(a0Δ)+δy(n)sin(a0Δ)

(1)

B(n)=r(n+a1)+δx(n)cos(a1Δ)+δy(n)sin(a1Δ)

(2)

C(n)=r(n+a2)+δx(n)cos(a2Δ)+δy(n)sin(a2Δ)

(3)

在上式中：n是采样点的位置，n=0,1,...,N-1，其中N为传感器采样一周的采样点数。δx(n)和δy(n)是主轴回转误差在x、y轴上的分量，α、β、γ分别是3个电涡流位移传感器与x轴之间的夹角,另α=a0Δ、β=a1Δ、γ=a2Δ。r(n)在测量回转误差时引入的圆度误差。A(n)、B(n)、C(n)分别是3个传感器的读数数组。

图1 放置3个传感器示意图

新的时域三点法在误差分离时，根据不同的求解过程可以分为：优先分离圆度误差(PSF)、优先分离回转误差(PSM)、同步分离圆度和回转误差(SSFM)。该方法由合肥工业大学的 Liu等提出[11]，本文搭建了主轴回转误差分析系统，并在某机床的1000/460VF-31001型主轴进行了实验验证，综合比较该方法与其它经典方法及Lion设备的实验结果，验证了方法的有效性，可以对主轴回转误差进行有效分离。

1.1 优先分离圆度误差

该方法原理式对式(2)、式(3)、式(4)进行整合，将回转误差分量消除掉，以此来首先获得圆度误差r(n)。具体方法如下:

将式(2)与式(3)联立求解得到两个回转误差分量δx(n)和δy(n)，并将其代入到式(1)中得:

sin[(a2-a1)Δ]A(n)+sin[(a0-a2)Δ]B(n)+
sin[(a1-a0)Δ]C(n)=sin[(a0-a1)Δ]r(n+a0)+
sin[(a0-a2)Δ]r(n+a1)+sin[(a1-a0)Δ]r(n+a2)

(4)

如式(4)所示，主轴的回转误差分量δx(n)和δy(n)已经被消除，只有圆度误差r(n)被首先分离出来。该式可以由三部分来表征，即：被分离出来的圆度误差XN×1,系数矩阵QN×N,以及传感器测量得到的数据的矩阵DN×1，以此来构建一组线性测量方程。

QN×N·XN×1=DN×1

(5)

其中，DN×1=sin[(a2-a1)Δ]A(n)+sin[(a0-a2)Δ]B(n)+sin[(a1-a0)]ΔC(n)，而系数矩阵QN×N为:

(6)

根据式(5)和式(6)可以得到主轴的圆度误差XN×1={r(n)}N×1，然后将XN×1带入到式(2)和式(3)即可得到回转误差分量δx(n)和δy(n)。

1.2 优先分离主轴回转误差

该方法原理是对式(1)进行延时相移后与式(2)和式(3)联立求解，以此来首先获得主轴的回转误差，并消除圆度误差。具体方法如下：

将第一个传感器A(n)离散序列分别经过时延相移(a1-a0)Δ和(a2-a0)Δ之后，那么测量结果转换结果如式(7)和式(8)所示:

A(n+a1-a0)=
r(n+a1)+δx(n+a1-a0)cos(a0Δ)+
δy(n+a1-a0)sin(a0Δ)

(7)

A(n+a2-a0)=
r(n+a2)+δx(n+a2-a0)cos(a0Δ)+
δy(n+a2-a0)sin(a0Δ)

(8)

用等式(2)减去等式(2)并且等式(3)减去等式(7)，最终可以得到如下两个函数:

B(n)-A(n+a1-a0)=
δx(n)cos(a1Δ)+δy(n)sin(a1Δ)+
δx(n+a1-a0)cos(a0Δ)+δy(n+a1-a0)sin(a0Δ)

(9)

C(n)-A(n+a2-a0)=
δx(n)cos(a2Δ)+δy(n)sin(a2Δ)+
δx(n+a2-a0)cos(a0Δ)+δy(n+a2-a0)sin(a0Δ)

(10)

在式(9)和式(10)中可以看到只有主轴回转误差的两个分量δx(n)和δy(n)被保留下来，而圆度误差r(n)则被消去。以此来构建一组线性方程：

Q2N×2N·X2N×1=D2N×1

(11)

上式由三部分组成，被分离出来的主轴回转误差分量：

X2N×1={δx(0),...,δx(N-1),δy(0),...,δy(N-1)}T，测量到的数据D2N×1={d(n)}2N×1，d(n)=B(n)-A(n+a1-a0)(n=0,1,...N-1)。d(n)=C(n)-A(n+a1-a0) (n=N,N+1,...2N)。系数矩阵Q2N×2N={Rpq}2×2，同时Rpq(p=1,2)(q=1,2)是一个方阵。

(12)

(13)

根据式(11)～式(13)可以求得主轴的回转误差X2N×1，然后将δx(n)和δy(n)代入式(1)中可以进一步求得圆度误差。这就是优先分离回转误差法。

1.3 同时分离主轴回转误差和圆度误差

该方法的原理是直接将式(1)～式(3)直接联立合并为一组线性方程中，通过求解线性方程组同时获得主轴的圆度误差和回转误差。如式(14)所示：

Q3N×3N·X3N×1=D3N×1

(14)

其中测量数据矩阵：

D3N×1={A(0),...,A(N-1),B(0),...B(N-1),C(0),...,C(N-1)}T系数矩阵Q3N×3N={Rpq}3×3，而Rpq(p=1,2,3)(q=1,2,3)分别为：

(15)

所求矩阵：

X3N×1={r(0),...,r(N-1),δx(0),...,δx(N-1),δy(0),...,δy(N-1)}T，该矩阵同时包括了主轴的圆度误差和回转误差，通过联立求解式(13)、式(14)可以求得，且只需要一步就可以误差的完全分离。

至此，新的时域三点法中的优先分离回转误差、优先分离圆度误差、同步分离回转误差和圆度误差三种方法被提出，且都可以得到分离完全的主轴回转误差和圆度误差。

2 实验验证

2.1 实验硬件设置

主轴回转误差测量系统主要硬件包括电涡流位移传感器、精密的标准球、坚实的传感器支架硬件和数据采集卡设备。本实验采集某机床的1000/460VF-31001型主轴回转误差数据来进一步验证误差算法的有效性，该实验系统由外径40mm加工中心刀柄、HZ-8500电涡流传感器、阿尔泰PCI-8757数据采集卡、传感器支架、传感器、计算机组成，如图2所示。

图2 测试现场实验图

2.2 实验研究和数据处理

设置实验的测量点数是N=100，3个传感器与x轴的夹角分别是0°、95°、230°，分别采集了主轴转速为600r/min、1200r/min、2000r/min、3000r/min四组数据。将数据经过信号去噪等预处理后导入到Matlab程序对其处理分析，分离效果如图3～图5所示。

图3 600r/min 优先分离圆度误差结果

图4 600r/min 优先分离主轴回转误差结果

图5 600r/min 同步分离回转和圆度误差结果

上图3～图5是当转速600r/min时主轴回转误差及刀柄圆度误差的极坐标图。从图中得到三种分离方法的圆度结果在0.9～1.25μm左右，而主轴回转误差分别为1.49μm、2.21μm、1.40μm。结果与传统三点法的结果相似，证明了在600r/min的转速下，该方法是适用的。为综合验证结果的有效性和适用性，利用美国Lion Precision主轴回转误差分析仪对主轴在相同的实验条件下进行实验。并将结果与本文方法的结果对比，如表1、表2所示。