理解极坐标和参数方程的意义

■北京八十中雄安校区 王立彬

极坐标和参数方程是高中数学选修课程的内容，在全国高考卷中是二选一的题目。准确地理解极坐标和参数方程的意义，对于解决这种类型的考题有很大的帮助。下面我们通过例题来分析，如何把握极坐标和参数方程的意义。

例1 在直角坐标系x O y中，曲线C1：(为参数，)，其中 ，tt≠00≤α＜π在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2 sinθ，C3：ρ=2c o sθ。

(1)求C2与C3的交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|A B|的最大值。

分析：由于曲线C1的极坐标方程为θ=α过极点，所以解决|A B|的最大值问题通过转化为极坐标方程来解决，这样可以将长度问题转化为求解三角函数最值问题。

解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2—2y=0，曲线C3的直角坐标方程为x2+y2—2x=0，联立解得所以C2与C3的交点的直角坐标为(0，0)和

(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π。因为A的极坐标为(2 sinα，α)，B的极坐标为(2c o sα，α)，所以|A B|=|2 sinα—2c o sα|=，当π时，|A B|取得最大值，最大值为4。

通过上述例子，我们看到应用极坐标方法解决有关弦长问题是十分有效和简练的，并且题中涉及求弦长最大值问题，用极坐标方法解决更方便优越。虽然A，B两点是直线与两条曲线的交点，但不能应用普通方程中的根与系数关系来解决。当然，我们要注意直接应用极坐标ρ的长度来解决数学问题需要直线过极点。

例2 已知曲线，直线l：

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为3 0°的直线，交l于点A，求|P A|的最大值与最小值。

分析：将圆锥曲线的普通方程转化为参数方程，非常方便求解距离的最值问题。当我们看到求解距离问题时，首先要想到将曲线方程转化为参数方程，最后用三角函数方法解决问题。

解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)；直线l的普通方程为2x+y—6=0。

(2)曲线C上任意一点P(2 c o sθ，3 sinθ)到l的距离为

无论是学习普通方程，还是参数方程和极坐标方程，都是为了探索不同的方法去解决各种数学问题。如果我们能够理解并掌握每种方程的特点，并应用方程所具有的优点解决适合的问题，就达到了学习新知识的目的。