前置独立研究：数学学习的新视角

庞舒勤

[摘 要]为了发挥学生的主观能动性，帮助他们真正为自己而学，践行“教材只是一个例子”，实现“用教材教”而非“教教材”，使教与学不受限于文本的章回，学生的发展不受制于成人的视野，教师要领着学生回到离数学被发现、被发明最近的历史点，使学生以一种相对原始的方式“裸”学，以一种相对完整的方式“研”学，更为重要的是在此过程中帮助学生形成一定的数学精神和数学思想方法。

[关键词]前置独立研究;意义建构;深度学习

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）29-0001-05

弗赖登塔尔曾表示：“没有一种数学观念像当初被发现那样得以表述。一旦问题获得解决，一种技巧得到了发展和使用，就会转向解的程序侧面……火热的发现变为冰冷的美丽。”

囿于各种因由，数学相关教学内容在书本上只能以“冰冷的美丽”存在。因为便捷、权威、惯性等因素，教师很多时候习惯于直接按照教材和教参设计教学，忽略被文本所掩盖的鲜活和生命。久而久之，教学内容徘徊在既定范围，教与学的过程受困于编写者的设计轨迹，学生的学习更似“复制粘贴”，功利、直白、固化、单一，一如张奠宙教授所言——鲜活的思想被淹没在形式演绎的海洋里。

如何发挥学生的主观能动性，帮助他们真正为自己而学？如何践行“教材只是一个例子”，实现“用教材教”而非“教教材”？教与学如何不受限于文本的章回，学生的发展如何不受制于成人的视野？对此，教师有义务和责任领着学生回到离数学被发现、被发明最近的历史点，抛开一切看似已有的先知，使学生以一种相对原始的方式“裸”学，以一种相对完整的方式“研”学，帮助学生真正以“主人”的姿态“直接”面对甚至“亲手”造就学习对象，并在此过程中逐步形成一定的数学精神和数学思想方法。也就是说，学生的数学学习以及教师的数学教学都应该是有使命的。

一、什么是“前置独立研究”

（一）对“独立”的理解

在百度上搜索“研究性学习” ，相关词条有一千四百多万个;搜索“前置研究”，相关词条有三百二十多个;搜索“前置独立研究”，没有给定答案。

对于“前置独立研究”中的“独立”，有三个层面的理解与思考：

其一，学生“零起点”。相当一部分学生有这样的学习日常：被知道、被规划、被学习。学生身边充斥着各类“教师”和各式各样的“课堂”，学生被催着、促着，在课外一定程度甚至相当程度“提前学习”相应学科课程甚至学科拓展课程。学校存在的必要性在哪里？

其二，教学“按惯性”。教师手边有较为全面的教辅——教材、教参、设计详案，网络可以搜索到多版本教学案例设计甚至示范课视频。大多数教师直接参考和参照已经习以为常，久而久之形成惯性和依赖。无论是日常课还是公开课、赛课，教师习惯撰写详案，设计“套路”，虽然也在转换视角，提出“自主学习” “个性发展” ，但基本还是在既定的“剧本”下按部就班。学科教学的价值在哪里？教师角色的意义在哪里？

其三，学习过程“非独立”。在教师的设计里，在家长的催促下，在成人的过度干预中，学生几乎没有个体化的创造性学习机会，学习经历往往只是“表演性体验”。这样的学习真实吗？有深度吗？有价值吗？

（二）对“前置独立研究”的理解

于小学数学而言，前置独立研究，是指将学习任务“前置”于课前，以“研究”的视角定位小学数学学习。利用“学前研究任务”，帮助学生抛开“先知”，展开最原始的观察、思考和发现，以一种“思维再造”的方式，经历知识的完整建构过程，从根源处出发，形成真正而完整的数学理解;引导学生关注对数学概念、理论、方法以及形态的产生与发展规律的探寻，着力重塑关乎数学认知的本初思考，加深学生对数学本质、数学规律性的认识。

前置独立研究，试图将学生重塑为初始阶段就发现数学的“数学家”，将数学学习过程转化为一段段“创生之旅”，关注学生在学习过程中的新鲜感、期待值、好奇心以及积极的学习情绪，促进学生形成一定的数学精神和数学思想方法。

前置独立研究观照下的“教”秉持“独立”的教材观、教师观和教学观，“学”提倡自然而深入，且学习过程不失生命和灵魂。

（三）“前置独立研究”的实施

1.结构及原则

前置獨立研究，关注知识本源、学习起点以及教学源头，尊重学习源流以及认知渐进嬗变的过程：课时教学“主问题”为舵，课堂知识一体化;单元教学“知识点”结网，单元知识统整化;条线教学“相关内容”成链，领域知识序列化。

课标为纲。课程标准是国家对学生接受一定教育阶段之后的结果所做的具体描述，是国家教育质量在特定阶段应达到的具体指标。它是教材、教学和评价的出发点和归宿，是“前置独立研究”实施的纲本。

教材为例。教材具有相当的先知性、示范性、引领力和借鉴力，前置独立研究中以多版本教材作为教师设计教学的重要参考资源，但更重要的是，基于“前置独立研究”的课堂，更注重生本学习资源的发掘，注重开发与现行教材并行的以学生再创造的素材编撰的“生本教材”。

2.打开方式

个人建构。课前，学习目标被设计成“前置独立研究任务”，以特殊数学作业的身份介入学生的学习世界，由每一个学生经历独立的“学前期”个人建构。

群体交互。课堂中，用对话的方式，教与学以交换思想为目标展开，以学“唤”教，以教“促”学。

学生层面：2个人——在学习小组内充分表达自己对主题的探究方法、过程、策略，提出观点或猜想 ;3小组（小型学习共同体）——逐一纳入每一个学生的独到见解，异中求同，同中寻异;1班级（大型学习共同体）——揉合各组见解，关注不同观点，认同、质疑、补充或是进一步思考，逐步明晰学习目标建构的核心关键。

教师层面：适时进行教学“干预”。鼓励表达：关注“两头”抓“中段”，尽力关注每一类学生的学习需求、学习进展以及群体学习中可能出现的新的思维生长点和方向。尊重个体差异：尽可能第一时间对每一类观点的思维本质做出判断并快速给予反应，洞悉差异背后的价值点。时机点处及时介入学习，令学生思考深入，适时促发更深层次的学习机会，生成新的研究主题，时刻准备展开新一轮“前置独立研究” 。

个体重建。通过“个人建构”和“群体交互”两个阶段，学生基于自己的学习起点，融入对某一学习目标深入研究的能量蓄积到了一定的程度，学习自然往纵深发展，新一轮的质疑、猜想、再创造呼之欲出，每一位学生的原有知识结构发生改变，新一轮学习循环开始。

3.实施要素

儿童先行。展开“前置独立研究”时，常常将课堂的学习目标和对象设计成诸如“你觉得物体的表面积指的是什么？请设计作品佐证你的观点。”“物体的体积和容积到底有什么不一样？请设计实验说一说你是怎么想的。”这样有张力的研究问题或任务，先于成人“教给”之前，让儿童与学习对象直接面对。这样，就区别于形式上的重复操练、时间上的局促、空间形式上的单一，尊重并呵护每位学生的直接理解，确保每一位学生的独立思考和主体体验，最大限度地保证学生不受他人思想的影响，以主观表达性作业确保每一位学生学习的主体地位。

思维可视化。“前置独立研究”允许学生在为了说清楚自己的观点或想法时，可用画一画、做一做、写一写等方式，充分尊重不同个体独特的思维方式和思考策略。因为“可视化”，教师更加清楚每一个学生对于研究对象的认知度，可以为教学的展开提供更加丰富的素材，能保证教与学往更有价值的方向展开。

前置与独立。“前置独立研究”强调“前置”“独立”，完成研究性作业时，要求学生不翻看书本、不参考标准答案，鼓励形式不拘、大胆求索、想象创新。学生带着各自独特经验直接与客观世界对话，自然会出现不同程度的认知落差，而不平衡将能更好地助推学生心智发展。这样“自传式”的学习经历是学生能更好地发现自我的重要保证。

对话与干预。关注“儿童先行” “思维可视化” “前置与独立”的课堂，学生成为基于“学习目标”、从他概念世界出发、“有思想”的自变量，课堂成了促成个体认知解构、再构甚至重构的场域。教师成了因变量，以“干预者”的身份进行“援助式”地“教”，不断促进意义建构，促进学生对“学习目标” 的“自组织”，引导学生和客观世界对话（基于学科），与他人对话，与自我对话，最终由学生自己完成基于学习目标的自主建构。

二、为什么要进行“前置独立研究”

（一）基于对“数学是什么”的思考

R·柯朗在《数学是什么》一书中提出“上帝创造了自然数，其余的是人的工作”。其实，数学之存在于我们远没有想象的冰冷、遥远而神秘，当年高斯对于等差数列的直觉发现，让人们深深感受到数字之间的内在联系是可以通过人的智慧去发明和创造的。数学是人类思想的产物，是人们常识的系统化，诸多数学概念、规则、定律均来源并发展于生活。

（二）儿童是天生的“数学家（非指数学奇才）”

“生物发生律”提出个体发育史是系统发展史的重演，这一自然的生物学线索是否可以运用在人类对于数学学习的剖析上？弗赖登塔尔反复强调，学习数学唯一正确的方法就是让学生进行再创造，如果让他们经历发现或创造学习对象的过程，重演数学发展的历程，角色转换成为当初的“数学家”，不失为一种数学学习的打开方式。

（三）学习中应该看见“每一个学生”

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》指出“关心每个学生，促进每个学生主动地、生动活泼地发展，尊重教育规律和学生身心发展规律，为每个学生提供适合的教育”。教育的全面性以及差异发展作为非常重要的理念已被广泛关注，教师应该关注学生的不同特点和个性差异，发展每一个学生的优势潜能。

学校存在的一层重要使命是帮助学生打开自己的经验世界，与他人、世界联结，从而成长自我、成就他人，同时关注差异。能看见“每一个学生”，是学校、教师和教学存在的首要命题。

三、怎样培养学生“前置独立研究”的精神和能力

小学数学学习应该有意义，小学数学教学应当有使命。也许，教师此刻要做的首先是着力还原那种发现数学之初的火热。

（一）独“创”思路，让意义建构深入

在想象力空前丰富的孩童时期，每一个学生都是带着自己的经验来到课堂的，理解能力、思维方式、生活印迹各异的他们并非“白纸” ，对同一学习对象的个性化理解，在心中呈现的印象、影像当然也不尽相同。如100个学生眼中有100种“凑十法”的样子。

【案例1】“凑十法”原来就是我想的样子

对于“9加几”的内容，教材以“9+4”这道算式展开，通过让学生操作学具（把盒子外面的一个苹果移进盒子里，凑满1盒）形成“凑10”的思路，进一步感知加法是表示把两个量合并起来的运算。课前，教师引导学生展开前置学习：45个学生中有40人给出了正确且多样的计算“9+4”的方法，其中36人配以有效图示（如图1、图2、图3）。  

图1用直观的图示表达了“9+4”这一加法模型的实际意义，借助“合并起来”的模型意义可以知道得数是13，但也注意到可以把9先凑成10;图2则以画圈的方式先凑10，再把10和旁边的 3个“合并起来”，静态地表达了“凑10”的过程;图3则以箭头表示移动，动态地表达了“凑10”的过程。

无论学生以何种方式加以表征，都是借助自己构造的对象，详细描述了“9+4”是表示把两个量合并起来，可以数出得数，也可以“凑10”计算。学生在独立尝试、同伴互动进而形成深度理解的过程中建构了独特而真实的加法意义。

（二）独“立”释义，使概念理解深透

古希腊人相信数学是宇宙的基础，认为一切事物从无到有，都是依据秩序及纯粹的數学，数学被运用在一切事物的创造中。儿童有异于大人的禀赋，天性使然之下，很多数学概念的诠释和创意，也许就蛰伏在他们小小的身体内。

【案例2】 素数 “DIY”

（课前调查发现，不少学生提前学习了素数与合数相当一部分的知识）

师：怎样的数是素数？合数又指的是什么样的数？

（不少学生能较为流利地说出素数和合数的分类标准。在生生交互、师生对话中，全班学生很快完成了对素数和合数的认知。然而，教师并没有让课堂就此画上句号）

师：中国有句古话叫“顾名思义”吧！为什么这样的数叫作质数（素数）？

生1：它们很“单调”。

生2：朴素，像素菜一样 。

生3：简单。

生4：它们很有质感。

生5：很有品质。

师：有意思，看来数学家可不是胡乱取名字！如果当初是你发现的，你会如何命名这样的数？

（学生想出了一系列颇具质感的名字：私数、乏数、独数、规数、凡数、简数、双子普通数、二因数、本数……）

与生俱来的数感以及充满天性的想象力造就了学生属于自己的理解，贴切不乏创意，揭开了数学感性却更为深透的一面。

（三）独“造”样态，令模型建构深层

学习真正发生，必须是学习者亲身体验，然后经历混沌、彷徨、摸索、反思，基于已有数学现实，不断进行思维的解构、再构，努力從一片混沌中理出头绪，构造新的模型现实。

【案例3】我的、你的、他（她）的“复式条形统计图”

教材提出“你能看懂复式条形统计图表示的信息吗？”，并要求根据给定的图填写信息。课程标准对这部分内容的具体要求是“使学生能够看懂和利用复式条形统计图里的数据;能够在统计图上画不同标记的直条表示两组数量;体会复式统计图表的特点。”对此，教学时仅仅让学生停留在看懂、能利用、会作图，还是需要深入其本质？笔者以为，不要囿于例题，而是设计较为真实的情境，帮助学生经历完整的统计图产生、制作、发展的过程，促使学生悟其特点，会其意义，创造并体会各元素的存在样态及意义，真正认同其存在价值。

“前置独立研究”反其道而行，直接向学生抛出第92页的问题情境促其课前独立研究：设计出“五年级一班、二班同学参加书法、绘画、剪纸兴趣小组人数”统计表，再根据复式统计表，自制一张条形统计图。

学生的前置研究情况：50人中的41人选择制作条形统计图，学生给出理由“本题更多关注兴趣小组人数的多少、数据的对比，不太需要体现变化趋势，故选条形统计图”;50名学生均能选择6根条形表示各班各组数据，其中30人选择6根条形两两紧靠（自发作“复式”图），以示人数为同一兴趣小组;学生除了能正确标注标题、日期、数据、刻度、单位等原本已认知的条形统计图中的大代表性元素，更有23人自发使用了“图例”这个“复式条形统计图”中特有的元素（其中的15名学生甚至以较为科学却又是独创的图例表示方式标注在统计图的右上角，另8人用而未标）。

学生对“复式条形统计图”显然有相当的直觉，完成度不一的“大任务单作品”，无一不在说明学生具备发现甚至发明这一学习对象的直觉力量。至十九世纪后期，所有伟大的数学家在表达他们发现的时候，均基于直觉上的朴素概念。

（四）独“建”课程，促学习意义深度

教与学是在思维的渐变衍生中，不断从相对封闭到开放，并在此过程中获取意义，汲取重建的力量。课程建设是深度学习到一定程度的产物，参与课程建设，可以令学习有深度。基于“前置独立研究”视角的学习，学生常常会自然地介入课程建设。

【案例4】对称！对称？对称！再造参数

“对称”现象只有“轴对称”吗？小学阶段为什么只研究“轴对称”？“对称”中的“非轴对称”要避开吗？避得开吗？需要避开吗？

在设计“前置独立研究”任务时，笔者引导学生锁定“对称”，展开合并研究：

1.如图4，哪些图形是“对称”图形？

2.用自己的话描述“它们怎么就对称了” ？

3.怎么判断它是不是对称？

4.三年级已经学过“轴对称图形”，怎么今天还要研究“对称”？“对称的它们”有什么不一样？

研究要求：动手操作，大胆表达，尽力说出自己的意思和感受。

（对折、重合、完全吻合、位置对称、一样长、一样大、一样的角度、一样的斜度……这样的词不断出现在学生的“研究单”中。）

生1（操作后有感而发）：其实，我们可以去推测对不对称，不一定每次都要去折！

师：比动手验证更高级——用数学思维去推想！好方法！

生2：4号比2号“正”，它们虽然都是平行四边形，但4号是对称的，我可以找到两条对称轴，2号不是对称的，我找不到对称轴。

生3 ：那正方形就更正了！它更应该是轴对称图形，对称轴应该更多！

生4：正方形也是平行四边形，正方形有4条对称轴，怎么4号只有两条对称轴？怎么2号一条对称轴都找不到？

师：我们把生4的思路倒过来想，普通的平行四边形是轴对称图形吗？它的四条边相等成了菱形后是轴对称图形吗？如果菱形的四个角变作直角成了……

生5（脱口而出）：再“正”一些，直到 4个角都相等，就是正方形，有4条对称轴。

师：如果正方形再……

生（纷纷抢答）：圆！圆！圆有无数条对称轴！

（教师迅速回溯，结合“前置研究”中不少学生觉得“平行四边形”也是对称的，但苦于找不出对称轴，又无法说服自己的情况，通过追问促使学生思维深度生长。）

师：像2号这样的普通平行四边形，有不少同学在前置研究时觉得它还挺对称的，因为它可以均分出完全相等的两部分。可是又找不出对称轴，它真的对称吗？如果是，是怎样一种对称？如果不是，又为什么能均分出完全相等的两部分？该如何佐证自己的观点？还存在别的像“平行四边形”这样似是而非、似非而是的图形吗？

（研究性学习继续推进，当学生提出“八卦图样”“紫荆花图样”也可以看作“对称”时，研究以一种不可抵挡之势往深处延展。这个研究命题被学生迫不及待地“领”回家，第二天的交流对话在情理之中又意料之外地往“对称”这一主题更为立体而上位的方向发展，“旋转对称”“中心对称”……学生的认知不再片面而唯一，学习变得立体起来。）

（这时，教师再次调转话头，将学习引往另一个方向。）

师：咱们换一个主题吧，如果用“三角形”来研究“对称”，你打算设计怎样的研究思路？

生6：可以是由一般三角形到等腰三角形再到等邊三角形的研究路径，也可以根据三角形角的情况去试一试，还可以从三角形的不同分割角度去研究。

从学生个体的“前置独立研究”出发，到师生群体意见交换碰撞，再到学生回到自身完善认知、生成新的学习目标和方向，教师提出的一个个引发思维折转的核心问题成了驱动轴心，随着教学现场的不断丰富、扩展、深入，教学不再是单纯的教学，俨然成了一段“生本化课程”的创建之旅。

四、重新思考教与学的意义

当静下心来思考“教学”到底是什么的时候，必须重新审视“成为教师” “成为小学数学教师“的价值旨归。教师不是传道士，教材也只是一个例子，教师更应该做的是唤醒，让学习成为学生的一种本能的冲动，让数学观念像当初被发现那样得以表述，让数学学习成为一种信仰般的存在，让每一位学生为自己而学。

【案例5】你得证明你会

刚上二年级的一学生拿着本子雀跃地跑过来：“老师，我会写算式‘7÷4=1……3。”我定睛一看：他写了一道有余数的除法！于是我不由得问道：“你是怎么想的？可以画图解释给老师听吗？”

他很认真地点了点头。下午他就给了我一张小纸片（如图5）：“老师，这是我早上和您说的。”

【案例6】 研究就是这么执着

有一学生连续两天不分课上课下，一直研究27乘56和379乘78等两位数乘两位数、三位数乘两位数的计算方法。从他的研究过程来看，他对乘法的意义及乘法计算规则掌握得不错，同时他还开始建构新的规则。

【案例7】写数学也能废寝忘食

一位三年级小女生的数学日记：我迷惑（应该是“迷恋”）上“铺地锦”以后，在自己的研究本上写下来，开始自己的继续研究。奇怪又好笑的是，我写着写着，连觉都不想睡，做梦都想！……好玩得不得了！

不唯教师，看见学生，小学数学的教与学也许会以一种更理想的样子而存在。

（责编 金 铃）