高中数学函数思想的应用探究

李毅

【摘 要】本文阐述将数学思想方法渗透到高中数学教学中的具体应用，通过利用函数的概念和性质来分析问题，将问题转化为数学模型的方法，以此加深学生对函数的了解和把握，提高函数教学的课堂效率。

【关键词】高中数学 函数思想 数形结合

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2019）07B-0149-03

在高中数学中，数学思维方法是一种剖析和探索数学问题的方法，是解决数学问题的一种方式。如函数思想、建模思想、化归思想、数形结合思想、类比思想等。实施数学教学过程的时候，教师要注意循序渐进地浸透这些数学思想和方法，确保学生理解和掌握数学知识。另外，在高中数学功能教学中，必须有条理地按步骤渗透数学思维方法，使学生通过数学思维了解高中数学功能，加深学生对数学功能的理解，提高高中函数课堂教学的有效性。从问题的定量关系出发，用函数的方法将问题的条件转化为数学模型。有时为了解决这个问题，还得进行方程和函数的相互转换。那么，怎样在高中数学函数教学中运用数学函数思维方法？

一、在传授函数知识的过程中逐步渗透函数思想

在高中数学教材中，是这样定义函数的：函数是从一个集合 A（定义域）到另一个集合 B（值域）上的映射 f：A→B，并使得集合 B 中的元素 y 与集合 A 的元素 x 对应，记为 y=f（x）。而初中数学中函数是这样定义的：在变化过程中，有两个变量 x，y，如果 x 给出一个值，y 都具有与其对应的唯一确定的值，则 x 称为自变量，y 称为 x 的函数。从这里可以看见，函数的定义从初中的数之间的对应关系，变成了映射，是集合之间的对应关系。也就是说，通过这个定义的变迁，让学生认识到，函数不仅仅存在于数之间，也存在于事物和数字之间。例如，个人和其身份证号码，图形和其面积公式，学生和其学籍号，等等。

因此，老师在教学中，要注意学生对知识概念的理解，要进行不断的、反复的练习，从多个角度来进行正确引导和解释相关概念，加深学生对概念的理解，同时还要抓住时机适时地将数学思想渗透进去。因此在“函数定义”这节课的教学中，如果老师先通过对几个函数的图象和性质进行说明、比较，再将这个具体的函数的定义从抽象转化为具体，则可加深学生对函数概念的理解。

另外，它还可以训练学生的发散性思维，从生活角度中抽象出函数的对应关系，如，买菜买米要用到函数，假设单价是每斤 a 元，要买 x 斤，则付款数 y 就与斤数 x 产生对应，记为 y=ax，这个是一次函数。买米买菜要用到钱，用钱就需要去工作，每日工资 x 元，每月（计 30 日）则有 y=30x 元收入。收入多了，要学会存钱，存钱就要和银行打交道，银行的利率和利息的对应关系也是函数关系。有了钱，若网上比实体店购买的商品便宜就可以选择网购，而包裹的重量和快递运费的关系是函数对应关系。挣的钱多了，要纳税，收入和所纳税款的对应关系是函数关系。挣了足够多的钱，又可以买房，装修，其中房子面积和装修费用之间是二次函数关系，等等。通过这样的一节概念课，把初中高中两个不同层面的函数概念有机融合在一起，也复习了初中学习过的函数。这是为了让学生深刻理解函数就在我们的身边，函数思想与我们生活息息相关，吃喝拉撒睡可以说都离不开函数，函数并非遥不可及的。

二、重视函数性质的教学，培养学生识别能力

高中数学中，有指数函数和对数函数、幂函数、三角函数等。学生学习各种函数，就必定要学习它们的图象和性质。函数不同，性质也不同，那么就需要不断提高学生对各种函数图象和性质的认识和把握，增强学生区分各种函数的能力。学生不但要掌握各种函数的不同之处，还要找到它们的共同点。在实际的数学函数问题中，各种函数之间存在着转换的特点。学生在学习的过程中存在一定程度的混淆，特别是指数函数 y=ax（a>0，a≠1）和幂函数 y=xa，指数函数 y=ax（a>0，a≠1）和对数函数 y=logax（a>0，a≠1），这些都需要学生对函数图象和性质有一个准确的判别，这样才能正确地找到解题思路。

在高考中，有一道高频考题是关于比较大小的，如：

2018 全国卷 I 理 8 文 10，设 a=log32，，则以下判断正确的是（  ）。

A.a

本题根据对数函数的底数越大，在第一象限就越靠近 x 轴，可知在第一象限 y=log3x 比 y=lnx 更低，從而 a

再如 2017 年的一道高考题：

已知  ，比较 a，b，c 大小。

首先由对数函数和指数函数的图象性质易知 b 是负数，a，c 都是正数，b 一定是最小的。只需比较 a，c 大小即可。由对数函数的性质 ，得 ，而根据指数函数 y=2x 是增函数的性质知，，所以 c 最大。从而有 c>a>b。

该题考查的就是对数函数、指数函数、幂函数的图象和性质，主要是单调性。

而函数的奇偶性和周期性的考查也相当热门，如 10 年山东卷：

设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 x≥0 时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数）则 f（-1）=（  ）

A.3      B.1       C.-1       D.-3

要解决这道题，首先要清楚奇函数的性质，①在 x=0 有定义，则必有 f（0）=0，从而求得 b=-1;②由 f（-x）=- f（x）得 f（-1）=- f（1）=-（2+2-1）=-3。故答案选 D。

再如奇偶性和周期性的综合题，2013 年的一道高考题：

设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且对任意 x 恒有 f（x+2）= - f（x），当 x∈[0，2]时，f（x）=2x-x2，求 f（0）+ f（1）+ f（2）+…+ f（2013）的值。

这题需要充分使用奇偶性和周期性，① f（0）=0，          ② f（x+2）=- f（x）周期 T=4。于是，可得 f（1）=2-1=1，f（2）=4-4=0，f（3）= f（-1）=- f（1）=-1。即 f（0）+           f（1）+ f（2）+ f（3）=0。即四个一组，其和为 0 又因为 2014=4×503+2，故 f（0）+ f（1）+ f（2）+…+ f（2013）= f（0）+ f（1）=1。

以上函数的性质都是常见常考的性质，要想取得理想的教学效果，一方面需要教师在教学中，对性质的讲述要细致到位;另一方面，也需要设计合适的习题加以巩固。总之，千里之行始于足下。

三、采用实际例子加深对函数知识的理解

在高中数学函数教学过程中，学生对函数概念一旦有了基本的了解和认识之后，老师则要根据课本内容选择一些实例去进行深入讲解。一方面，它可以巩固学生已形成的函数概念;另一方面又能提高学生对函数概念的实际应用能力。如，在“指数函数”教学中，老师借助图象进行三种语言的转换分析，加深概念的认识之后，再设计一些题目，比如，①计算银行借款（存款）利息;②利滚利的高利贷方式;③国际象棋发明者要国王的奖励是往棋盘放麦子，在这个例子中国王要准备多少麦子;④某种病毒细胞作有丝分裂，每个每次都是一分为二，每分钟分裂一次，一天后有多少病毒细胞;等等。在实践中让学生对这种指数型爆炸式的变化速度有更深刻的体会，从而在脑海中刻画出一个指数函数的图象，方便学生对指数函数在发生变化的前后进行对比分析。

在指数函数教学中，笔者曾经给学生讲过一个故事，1973 年美国的快递公司在交货给货主的时候，就荷兰猪是不是猪这个问题发生了争执。如果是普通的猪，那么收费应该是 30 美分每只;如果是宠物，那么收费应该是 25 美分每只。但是办事员认定荷兰猪是猪，要收 30 美分每只，货主坚持这是宠物，只肯付 25 美分每只。争执不下的货主留下两只荷兰猪愤然离去。然后经过一重一重的各方面的认定，最终由最有权威的动物专家教授指出，荷兰猪属于什么科什么目应该归为宠物，因此，只能收 25 美分每只。结论传回到办事员手上，办事员却无比惆怅地再次向经理发问，现在这些该死的荷兰猪已经有 4096 只了，我到底是该收当初两只的费用还是收 4096 只的费用？另外我给这些荷兰猪买食物花掉的 68 美元又该怎么办？

为什么会变成了 4096 只呢？笔者把问题抛给了学生，学生查找了荷兰猪成长、繁殖的时间资料，最后按照这种一般规律，推算时间到底过去了多久。成年的荷兰猪一般一个月就可以繁殖后代，这是个指数函数，f（x）=2x，由 2x=4069  x=12，最后得出的时间（12 个月）让现在的学生觉得不可思议，一件小事情居然扯了至少一年才有结果。另一方面，美国人的执着认真也让人瞠目结舌，1973 年没有电话没有电脑网络的年代，单纯靠邮局信件来往解决这件事实在让人无法想象，而荷兰猪的繁殖能力，以及后果实在太恐怖了，如果开始的时候办事员知道荷兰猪的繁殖是这种爆炸式增长的指数型函数，谅他也不敢坚持说荷兰猪是猪要收 30 美分了，就如他最后的顿悟：只要我在职一天，哪怕是狮子老虎山羊公牛你说是宠物那就是宠物。通过这个例子，它生动形象地加深了学生对指数函数图象和性质的认识。

四、充分利用泛函方程思想，进行方程与函数的互化

在高中数学中，函数方程的思想是一个重要的数学思想，中学数学课本的编写是以知识结构为主干，各种数学思想分布在整个数学体系中。函数方程思想就是利用静与动的特點来建立的函数关系式或者函数图象、图表等，之后根据函数图象和性质对函数问题进行分析、转化，最终解决问题。关于这一点在二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）与二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的关系方面在高考中是考得最多的，老师在课堂上就要多举例说明，方程就是函数中函数值 y=0 对应的式子，所以，解方程就是把函数中能使 y=0 对应的 x 值找出来。如图 1（见下页）中二次函数图象。①中函数值 y>0 恒成立，从而 y=0 无解，即二次方程无解，△<0;②中函数值 y≥0，能使 y=0 的就一个值，故二次方程有唯一解（或两个相等实根），△=0;③中 y 值正、负都有，和 x 轴有两个不同的交点，从而二次方程有两个不相等的实根，△>0。通过二者的图象关系从而理解根的判别式 △=b2-4ac 与函数图象和 x 轴交点关系，韦达定理与根的分布等关系。

函数与方程的关系，就像一条主线，抓住了，相关的问题就能迎刃而解。因此，函数方程的教学可以提高学生运算能力和逻辑思维能力，促进学生的全面发展。

五、数形结合，培养学生的综合解题能力

在高中数学中，用传统的代数方法求解实际函数问题时，很难找到突破。因此，我们必须利用函数图象和性质对其进行分析，直观清晰地寻找到问题的突破口。另外，根据已知的函数图象，我们也可以根据函数图象中所隐藏的一些条件和相关性质，再结合代数式就可以解决相关问题。

〖例 1〗在极坐标系中，设点 ，求点极点 O 到直线 AB 的距离。

本题按常规方法，就是把点化为直角坐标，求 AB 的直角坐标方程，然后用点到直线的距离公式求距离。但通过作图发现（如图 2），AB 在以 4 为半径的同一个圆上，且∠AOB=90°，故△BOA 为等腰 Rt△，从而斜边 AB=，由等面积法得 O 到 AB 距离为 。再或者，留意到 O 到 AB 的距离其实也是 Rt△OAB 斜边 AB 上的中线，所以距离为 AB 的一半 。可見通过作图将数与形进行完美的结合互换，可以大大提高学生的解题能力。

〖例 2〗在平面直角坐标系 xoy 中，函数 y=2a 与 y=|x-a|-1 有唯一公共零点，求 a 值。

本题如果打算从解方程入手，探讨方程有一个解，那么会比较麻烦。用图象法会非常直观而且更快捷。y=2a 的图象我们都熟悉，就是一条平行于 x 轴的直线，而 y=|x| 的图象是一个 V 字形的折线图，V 的顶点在原点，y=|x-a| 的图象无非就是这个 V 字左右平移，不会改变  y 的取值范围。y=|x-a|-1 就是 V 字再下移一个单位，顶点 V 的 y 值为-1，故要 y=2a 与 V 字有唯一个交点，则要 y=2a 通过 V 字的顶点，得 2a=-1，所以 。如此一来，简单而且完美解决了这道题。

诸如此类的题目都说明，当我们在进行函数教学的时候，要认真贯彻落实数形结合的函数思想，才能使得我们的课堂效果更有成效。

函数思想是人们对实际数学问题进行分析探索，借助已知数学概念、数学基本理论转化为固有的数学模型的一种思想认识，它是人们对数学知识本身的具体反映和深入分析，是解决实际数学问题的一种方法和手段。因而，在数学教学中，渗透函数思想方法，可以提高学生解决实际数学问题的能力，可以发展学生的数学组织能力，还可以让学生综合思维能力得到全面的提升。

【参考文献】

[1]董朝芳.高中数学函数教学对数学思想方法的渗透[J].教育教学论坛，2014（21）

[2]任 潇.高中数学函数教学中渗透数学思想方法的应用分析[J].现代妇女（下旬），2014（4）

[3]游保平.高中数学函数教学中渗透数学思想方法的应用[J].新课程（中旬），2013（10）

[4]王 娟.高中数学函数教学中渗透数学思想方法的应用[J].考试周刊，2014（47）

（责编 卢建龙）