抛物型交换四元数矩阵实表示的性质及应用
2019-11-19孔祥强
孔祥强
(菏泽学院 数学与统计学院， 山东 菏泽 274015)
对一般四元数的研究是克利福德代数研究的重要方向，并已取得相当丰硕的成果[1-5].随着四元数研究的深入，部分学者展开对分裂四元数的探讨，取得部分成果[6-10].而对乘法满足交换性的交换四元数代数理论研究的成果并不多.文献[11]首次研究了乘法满足交换律的四元数及其矩阵问题；文献[12]对交换四元数进行了分类，具体分为椭圆型交换四元数、抛物型交换四元数和双曲型交换四元数;文献[13]对椭圆型交换四元数及其矩阵进行了研究并得到系列结果.本文研究的是抛物型交换四元数，推导出此类交换四元数矩阵实表示的系列结果，并给出了抛物型交换四元数矩阵计算的系列性质.
1 抛物型交换四元数及其实表示
定义 1[12]设R表示实数域，H={a=a0+ia1+ja2+ka3;a0,a1,a2,a3∈R}，且i2=0，j2=1，k2=0，ijk=0，ij=ji=k，jk=kj=i，ki=ik=0，称满足条件的交换四元数a为抛物型交换四元数，记a∈H.
抛物型交换四元数a=a0+ia1+ja2+ka3的共轭主要有3种形式，分别记作:
a(1)=a0+ia1-ja2-ka3，
a(2)=a0-ia1+ja2-ka3，
a(3)=a0-ia1-ja2+ka3，
可得:
定理 1任一抛物型交换四元数都可表示为实数域上的4阶矩阵.
证明设a=a0+ia1+ja2+ka3∈H，a0,a1,a2,a3∈R，定义映射σa:H→H，σa(d)=da，∀d∈H，则σa为双射且:
σa(1)=1a=a0+ia1+ja2+ka3，
σa(i)=ia=ia0+ka2，
σa(j)=ja=a2+ia3+ja0+ka1，
σa(k)=ka=ia2+ka0.
依此映射，可定义抛物型交换四元数集合为4阶实矩阵集合
M4×4(R)=
的子集合，H和M4×4(R)本质是相同的.故对抛物型交换四元数的研究可转化为实数域上4阶矩阵的研究.实数域上4阶矩阵的性质即为H上抛物型交换四元数的性质.称
为a的实表示，记作AR.
2 抛物型交换四元数矩阵实表示的性质及应用
设Α=A0+iA1+jA2+kA3∈Mn×n(H)，其中A0,A1,A2,A3∈Mn×n(R)，称A为抛物型交换四元数矩阵.定义A的实表示形式为
记
M4n×4n(R)=
则抛物型交换四元数矩阵集合Mn×n(H)和实数域上4n阶矩阵集合M4n×4n(R)本质上是相通的.实数域上4n阶矩阵的性质可直接导出H上抛物型交换四元数矩阵的性质.对抛物型交换四元数矩阵的研究可转化为对实数域上4n阶矩阵的研究.
若A,B∈Mn×n(H)，且AB=BA=In，In为n阶单位矩阵，则称A可逆，记A-1=B.
性质 1设A,B∈Mn×n(H)，且满足AB=In，则BA=In.
证明
A=A0+iA1+jA2+kA3，
B=B0+iB1+jB2+kB3,
A0,A1,A2,A3∈Mn×n(R),
B0,B1,B2,B3∈Mn×n(R)，AB=In，
则
AB=(A0B0+A2B2)+i(A0B1+A1B0+
A2B3+A3B2)+j(A0B2+A2B0)+
k(A0B3+A1B2+A2B1+A3B0)，
故
A0B0+A2B2=In，
A0B1+A1B0+A2B3+A3B2=0，
A0B2+A2B0=0，
A0B3+A1B2+A2B1+A3B0=0.
则
所以
B0A0+B2A2=In，
B0A1+B1A0+B2A3+B3A2=0，
B0A2+B2A0=0，
B0A3+B1A2+B2A1+B3A0=0.
又
BA=(B0A0+B2A2)+i(B0A1+B1A0+
B2A3+B3A2)+j(B0A2+B2A0)+
k(B0A3+B1A2+B2A1+B3A0)，
故BA=In.
定义 2[13]设A∈Mn×n(H)，λ∈H，对于非零列向量x，若有Ax=λx，则称λ为A的特征值，x为属于特征值λ的特征向量.A所有特征值的集合称为A的谱，记作
ψ(A)={λ∈H:Ax=λx,x≠0}.
性质 2设A∈Mn×n(H)，则A有2n个复特征值.
证明令
A=A0+iA1+jA2+kA3，
x=x0+ix1+jx2+kx3，
λ为A的特征值，由Ax=λx，则
(A0+iA1+jA2+kA3)(x0+ix1+jx2+kx3)=
λ(x0+ix1+jx2+kx3),
展开
A0x0+A2x2=λx0，
A0x1+A1x0+A2x3+A3x2=λx1，
A0x2+A2x0=λx2，
A0x3+A1x2+A2x1+A3x0=λx3.
即
故An×n有2n个复特征值.
推论 1设A∈Mn×n(H)，C为复数域，ψ(AR)={λ∈C:ARv=λv,v≠0}为AR的谱，AR为A的实表示，则
ψ(A)∩C=ψ(AR).
定理 2设
A=A0+iA1+jA2+kA3∈Mn×n(H)，
λ=λ0+iλ1+jλ2+kλ3，
则λ为A的特征值当且仅当存在n维非零实列向量(x0,x1,x2,x3)T，满足
证明由Ax=λx，则
(A0+iA1+jA2+kA3)(x0+ix1+jx2+kx3)=
(λ0+iλ1+jλ2+kλ3)(x0+ix1+jx2+kx3),
展开
A0x0+A2x2=λ0x0+λ2x2，
A0x2+A2x0=λ0x2+λ2x0，
A1x0+A0x1+A2x3+A3x2=λ0x1+λ1x0+
λ2x3+λ3x2,A0x3+A1x2+A2x1+A3x0=
λ0x3+λ1x2+λ2x1+λ3x0，
则
(A0-λ0In)x0+(A2-λ2In)x2=0,
(A2-λ2In)x0+(A0-λ0In)x2=0，
(A1-λ1In)x0+(A0-λ0In)x1+
(A3-λ3In)x2+(A2-λ2In)x3=0,
(A3-λ3In)x0+(A2-λ2In)x1+
(A1-λ1In)x2+(A0-λ0In)x3=0,
故
定义 3[13]设A∈Mn×n(H)，则A的a-行列式定义为|A|a=|AR|.
定理 3设A=A0+iA1+jA2+kA3∈Mn×n(H)，则下列命题等价:
1) |A|a≠0，即A可逆；
2)Ax=0有唯一解；
3) |AR|≠0，即AR可逆.
证明1)⟹2) 显然成立.
2)⟹3)
A=A0+iA1+jA2+kA3，
x=x0+ix1+jx2+kx3，
其中,A0、A1、A2、A3为实矩阵，x0、x1、x2、x3为实列向量.
Ax=(A0+iA1+jA2+kA3)×
(x0+ix1+jx2+kx3)=
(A0x0+A2x2)+i(A1x0+A0x1+A2x3+A3x2)+
j(A0x2+A2x0)+k(A0x3+A1x2+A2x1+A3x0)，
由Ax=0得
A0x0+A2x2=0，
A1x0+A0x1+A2x3+A3x2=0，
A0x2+A2x0=0，
A0x3+A1x2+A2x1+A3x0=0，
则
即
AR(x0,x1,x2,x3)T=0.
由Ax=0有唯一解，故
AR(x0,x1,x2,x3)T=0
有唯一解，则|AR|≠0，即AR可逆.
3)⟹1) 由AR可逆的定义，存在BR，满足
故
B0A0+B2A2=In，
B1A0+B0A1+B3A2+B2A3=0，
B2A0+B0A2=0，
B3A0+B2A1+B1A2+B0A3=0.
由此得
(B0A0+B2A2)+
i(B1A0+B0A1+B3A2+B2A3)+
j(B2A0+B0A2)+k(B3A0+B2A1+
B1A2+B0A3)=In,
即BA=In，由性质1知AB=In，故A可逆，|A|a≠0.
定义 4[13]设a=a0+ia1+ja2+ka3∈H，抛物型交换四元数a的范数定义为
定理 4设A=(aij)∈Mn×n(H)，则
证明A=(aij)∈Mn×n(H)，λ为A的特征值，x为属于λ的特征向量，Ax=λx.不妨设xi为x的第i个分量，且满足
‖xi‖≥‖xj‖,j=1,2,…,n，
则‖xi‖≥0.λxi为Ax的第i个分量，则
故
即
取范数
则
故
则
注 1定理4即为抛物型交换四元数矩阵所满足的盖尔圆盘定理.
3 算例
设
则
AR的谱ψ(AR)={i,-i,i,-i,i,-i,i,-i}.
盖尔圆盘
G1={q∈C:‖q+i‖≤1}，
G2={q∈C:‖q-i‖≤1}，
故
ψ(A)∩C⊆G1∪G2.
4 结束语
对交换四元数及交换四元数矩阵的研究引起了科研工作者的浓厚兴趣.本文充分利用抛物型交换四元数矩阵的实表示，并结合矩阵的运算及性质，得到交换四元数矩阵特征值存在的充要条件及盖尔圆盘定理，为进一步研究抛物型交换四元数矩阵的可对角化问题、逆矩阵问题、行列式问题等提供了重要支撑.另外，以实表示为基础，还可深入探讨复表示意义下交换四元数及交换四元数矩阵的其他问题.
致谢菏泽学院教学改革重点课题项目(2015010)对本文给予了资助，谨致谢意.
