带乘性退化噪声的准地转流方程的遍历

王 颜, 陈光淦, 汪 品

(四川师范大学 数学科学学院, 四川 成都 610066)

关于小Rossby常数流的准地转流方程在地球物理流体力学和海洋大气科学中被广泛使用.它们不仅用来模拟和预测中纬度海洋、中纬度天气尺度斜压系统的演变发展过程、大气环流、大尺度能量循环以及数值预报模式等,而且用来研究稳定性、锋生作用和混沌[1-3].

本文考虑带有界乘性退化噪声的准地转流方程

(1)

其中,ψ(t,x,y)是流函数,有界区域D⊂R2带光滑边界,β≥0是Coriolis参数的径向梯度,ν>0是粘性耗散常数,r>0是Ekman耗散常数.记J(f,h)为Jacobian算子,定义为

J(f,h)=▽⊥·▽h=fxhy-fyhx,

随机准地转流方程是一类具有随机速度场的地球物理流体运动模型.来自流体域的逃逸概率和在流体域上的平均停留时间定量描述了不同特征运动流型之间的流体运动.Brannan等[4]研究了在随机扰动下准地转流的喷射流模型,并对方程中的参数进行了数值模拟.Brannan等[5]还研究了在有界区域上,随机准地转流方程在弱条件下,关于全局解的存在性和唯一性.Duan等[6]研究了不变测度的存在唯一性,进一步证明了随机准地转流方程的遍历性.通常在非退化噪声的扰动下,不对Coriolis参数、粘性耗散常数以及Ekman耗散常数做限制,结合强Feller性和不可约性,由Doob定理导出不变测度的唯一性,从而获得方程的遍历性.

当随机系统的噪声是退化时,其所对应的Malliavin协方差算子不可逆,从而导致系统的转移概率半群的强Feller性不满足.因此,随机系统的遍历研究遇到困难.Hairer等[7]提出了用转移概率半群的渐近强Feller性来代替通常的强Feller性,使得随机系统的遍历研究获得转机,并成功应用在二维的Navier-Stokes退化随机系统的研究上.对于一个退化随机系统,关于转移概率半群的渐近强Feller性的证明也是相当困难,这吸引了众多数学家的关注[8-11].Yang等[12]研究了系统(1)带加性退化噪声的情形.本文特别关心带有界乘性退化噪声的准地转流方程(1),证明系统(1)是遍历的.

1 预备知识

本文设Wk,p为Sobolev空间,记

H0(D):=L2(D),Hk(D):=Wk,2(D).

记‖·‖和〈·,·〉分别为L2(D)的范数和内积.

Laplace算子Δ:L2(D)→L2(D),

作投射

算子Q:L2(D)→L2(D)是一个非负对称的线性连续算子,其共轭算子为Q*,Qei=qiei,设

设W是L2(D)值Q-Wiener过程,满足下述条件

设函数g:H→L2(L2,L2)是有界的Lipschitz连续的可逆算子,g满足

‖g(u)-g(v)‖L2(L2,L2)≤Lg‖u-v‖,

‖Fg(g(u))‖2≤L,

设

其中,Fg为函数g的Fréchet微分.

Brannan等[5]获得了在有界区域D⊂R2上,方程(1)在C([0,T];L2(D))中解u(t)的存在性和唯一性.定义

Ptφ(u0)=Eφ(u(t,ω;u0)),t≥0,

初值条件u0∈L2(D),以及任意φ∈Cb(L2).给定ξ∈L2(D),设{Js,t}s≤t是由时间s到t的微分流形,Js,tξ是下述方程的解

dJs,tξ=(νΔJs,tξ-J(ψ(u),Js,tξ)-

J(ψ(Js,tξ),u)-β(ψ(Js,tξ))x-rJs,tξ) d t+

Fg(g(u))Js,tξdW,

其初始值为Js,sξ=ξ,其中,Δ(ψ(u))=u,

Δ(ψ(Js,tξ))=Js,tξ,

记

Φt(ω;u0)=u(t,ω;u0),
ω∈C([0,t];Rn)

Dvu(t,ω;u0)=

设Atv=Dvu(t,ω;u0),因此

dAtv=(νΔAtv-J(ψ(u),Atv)-

J(ψ(Atv),u)-β(ψ(Atv))x-rAtv+

g(u)v(t))dt+Fg(g(u))AtvdW,

其初始值为A0v=0.由Duhamel原则有

引理 1.1[13]设D⊂Rn是一个有界开集,s1,s2,s3∈R,使得当0≤s1≤l,0≤s2≤l-1,并且假设下述条件成立:

则

|b(u,v,w)|≤

其中

2 遍历

引理 2.1存在常数C>0和η*>0,使得对所有的t>0以及η∈(0,η*],

Eexp(η‖u(t)‖2)≤

(2)

其中F(u)=-J(ψ,u)-βψx-ru.运用Gronwall不等式有

故

即

因此,引理2.1得证.

引理 2.2存在常数C>0和η*>0,使得对η∈(0,η*],

(3)

令

N(s,t)=η‖u(s)‖2+

其中

是连续的鞅,由

得

因此

根据鞅指数不等式有

当s≥0时,有

B0(t-s))}|Fs)≤2exp(η‖u(s)‖2),

关于Fs取期望,再运用引理2.1,引理2.2得证.

命题 2.1(渐近强Feller性) 存在常数N*∈N,η>0,存在常数C>0,δ>0,使得

‖▽Ptφ(u0)‖≤

Ceη‖u0‖2(‖φ‖∞+e-δt‖▽φ‖∞).

(4)

证明让ξ∈L2(D),满足

‖ξ‖=1,ξ=ξl+ξh∈L2(D).

设ρ=J0,tξ-Dvu=J0,tξ-A0,tv满足下述方程

dρ=(νΔρ-J(ψ(u),ρ)-J(ψ(ρ),u)-

β(ψ(ρ))x-rρ-g(u)v(t))dt+

Fg(g(u))ρdW,

(5)

其初始值ρ(0)=ξ.

定义

设ρ=ξ=ξl+ξh,因此

dξ=(νΔξ-J(ψ(u),ξ)-J(ψ(ξ),u)-

β(ψ(ξ))x-rξ-g(u)v(t))dt+

Fg(g(u))ξdW.

(7)

令

νΔξl-πlF(u,ξl+ξh),

(8)

结合(5)～(8)式有

dξh(t)=(νΔξh-πhF(u,ξl+ξh))dt+

Fg(g(u))ξdW,

(9)

其中

F(u,ξl+ξh)=
J(ψ(u),ξl+ξh)+J(ψ(ξl+ξh),u)+
β(ψ(ξl+ξh))x+r(ξl+ξh).

下面将证明对任何的η>0以及p≥1,存在C,γ>0使得当λN足够大的时候,有

E‖ξ(t)‖p≤Ceη‖u0‖2-γt.

(10)

d‖ξh(t)‖2=2〈ξh,νΔξh〉dt-

2〈ξh,πhF(u,ξl+ξh)〉dt+

2〈ξh,Fg(g(u))ξdW〉=:I1+I2+I3+I4.

下面依次估计I1、I2、I3,首先

I1=〈ξh,νΔξh〉=-ν‖▽ξh‖2.

其次

|I2|=〈ξh,πhF(u,ξl+ξh)〉=

〈ξh,πhJ(ψ,ξl+ξh)〉+〈ξh,πhJ(ψ(ξl+ξh),u)〉+

〈ξh,πhβ(ψ(ξl+ξh))x〉+

〈ξh,πhr(ξl+ξh))〉=:J1+J2+J3+J4,

J1=〈ξh,πhJ(ψ,ξl+ξh)〉=

〈ξh,J(ψ,ξl)〉+〈ξh,J(ψ,ξh)〉.

根据分部积分

〈ξh,J(ψ,ξh)〉=0,

以及

〈ξh,J(ψ,ξl)〉=-〈▽ξh,▽⊥ψξl〉,

因此

J2=〈ξh,πhJ(ψ(ξl+ξh),u)〉=

〈ξh,▽⊥ψ·▽u〉≤

J3=〈ξh,πhβ(ψ(ξl+ξh))x〉=

β〈ξh,πh(ψ(ξl+ξh))x〉=

β〈ξh,πh(-Δ)-1∂xξl〉+

β〈ξh,πh(-Δ)-1∂xξh〉≤

β‖ξh‖‖ξl‖H-1≤

Cβ(‖ξh‖2+‖ξl‖2).

J4=〈ξh,πhr(ξl+ξh)〉=

r〈ξh,ξh〉=r‖ξh‖2.

由J1～J4估计|I2|得到

Cβ(‖ξl‖2+‖ξh‖2)+r‖ξh‖2.

最后

L(‖ξl‖2+‖ξh‖2).

根据I1、I2、I3的估计以及

得

d‖ξh(t)‖2≤2〈ξh,Fg(g(u))ξdW〉+

2〈ξh,Fg(g(u))ξdW〉+

进一步

dE‖ξh(t)‖2≤

由Gronwall不等式有

当λN足够大时,根据

运用引理2.2,可得(10)式成立.

要完成命题2.1的证明,还需要估计

(11)

(12)

因此,只需证明

(13)

由G(s)=g(u(s))v(s),利用Hölder不等式得

接下来估计E‖G(s)‖2.

定义函数

有

E‖G(s)‖2=

CN{1{s≤2}+E‖νΔξ1‖2+E‖πlF(u,ξ)‖2},

由

‖πlF(u,ξ)‖≤C‖u‖‖ξ‖,

有

因此

E‖G(s)‖2≤

再根据引理2.1和(10)式,对任意的η>0,存在一个常数C>0,使得(11)成立.最后,证明(4)式.

通过分部积分、Mallivin算子、链式法则以及Hölder不等式,可以得到

|〈▽Ptφ(u0),ξ〉|=E((▽φ)(u(t))·Jtξ)=

E((▽φ)(u(t))Atv)+E((▽φ)(u(t))ρ)=

E((Dvφ)(u(t)))+E((▽φ)(u(t))ρ)=

由上式和(10)、(11)式,可得(4)式成立.

命题 2.2(不可约性) 0属于转移概率半群{Pt}t≥0的不变测度μ的支集.

‖u(t)‖2≤

从而

由Burkholder-Davis-Gundy不等式以及Höder不等式,有

因此

由Gronwall不等式得

于是有

E‖u(t)‖2≤CB0,r,ν,t∈[0,T],

E‖u(t;x)‖≤CB0,r,ν,t∈[0,T].

根据Markov不等式,对ε>0有

Pt(x,Bε)>0,

其中,Bε={y∈L2(D),‖y-0‖≤ε}.因此

命题2.2得证.

定理2.1带有界乘性退化噪声的准地转流方程是遍历的.

证明用Brannan等[6]的方法易得系统(1)的不变测度μ的存在性.进一步,由命题2.1及命题2.2获得不变测度μ的唯一性,因而方程(1)是遍历的.