半群OPD(n,r)的秩和相关秩

李晓敏, 罗永贵, 赵 平

(贵州师范大学 数学科学学院, 贵州 贵阳 550025)

1 预备知识

设[n]={1,2,…,n-1,n}(n≥3)并赋予自然数的大小序.In与Sn分别表示[n]上的对称逆半群(即部分一一变换半群)和对称群,SIn=InSn是[n]上的部分一一奇异变换半群.设α∈SIn,若对任意的x,y∈Dom(α),x≤y可推出xα≤yα,则称α是部分一一保序的.记OIn为[n]上的保序有限部分一一奇异变换半群.设α∈OIn,若对任意的x,y∈Dom(α)有

|xα-yα|=|x-y|,

则称α是保距的.令

OPDn={α∈OIn:(∀x,y∈Dom(α)),

|xα-yα|=|x-y|},

则称OPDn为[n]上的保序且保距有限部分一一奇异变换半群.记

OPD(n,r)={α∈OPDn:|Im(α)|≤r}，

0≤r≤n-1,

易见OPD(n,r)是OPDn的子半群,且对任意的α∈OPD(n,r),βγ∈OPDn,均有|Im(βαγ)|≤r,即βαγ∈OPD(n,r),因而OPD(n,r)是OPDn的双边星理想.

通常一个有限半群S的秩定义为

rank(S)=min{|A|:A⊆S,〈A〉=S}.

半群S及其子半群V之间的相关秩定义为

r(S,V)=min{|A|:A⊆S,A∩V=∅,〈A∪V〉=S},

易见r(S,S)=0.对于有限半群的秩及其相关秩的研究目前已有许多结果[1-11].文献[1]考虑了[n]上的保序有限部分一一奇异变换半群OIn的理想

KO(n,r)={α∈OIn:|Im(α)|≤r}, 0≤r≤n-1

本文在文献[1-10]的基础上继续考虑保序且保距部分一一奇异变换半群OPDn的双边星理想OPD(n,r)的秩和相关秩,证明了如下主要结果.

定理 2设n≥3,0≤r≤n-1,则

定理 3设n≥3,0≤l≤r≤n-1,则

设A是自然序集[n]的非空子集,符号εA表示A上的恒等变换.用∅表示空变换,规定:∅是保距变换,∅是部分一一保序变换.设α∈OPD(n,r),用Im(α)表示α的象集,Ker(α)表示Dom(α)上的如下等价关系

Ker(α)={(x,y)∈Dom(α)×Dom(α):xα=yα}.

对任意的t∈Im(α),tα-1表示t的原象集且|tα-1|=1.若|Im(α)|=k,1≤k≤r≤n-1,则由保序性和保距性容易验证α有如下表示法

其中,a1

|aj-ap|=|bj-bp|,

于是,令

A={a1B={b1

为叙述方便,这里引用Green*-等价关系[12].不难验证,在半群OPD(n,r)中,L*、R*、J*有如下刻划:对任意的α,β∈OPD(n,r)有

(α,β)∈L*⟺Im(α)=Im(β),

(α,β)∈R*⟺Ker(α)=Ker(β),

(α,β)∈J*⟺|Im(α)|=|Im(β)|.

易见L*⊆J*,R*⊆J*.记

k=0,1,2,…,r-1,r.

不难验证OPDn具有如下包含关系的双边星理想链OPD(n,0)⊂OPD(n,1)⊂OPD(n,2)⊂…⊂OPD(n,n-2)⊂OPD(n,n-1)=OPDn.

定义 1[4]若对任意的A={a1

ai-ai-1=bi-bi-1,

则称A与B同距,否则称A与B不同距.

将Xn(r)按照同距概念进行分类.对任意的A∈Xn(r),记A的同距类为[A].进一步可证:对任意的

A={a1

必定存在

C={1

2 定理的证明

为完成定理的证明先给出若干引理与推论.

若a

情形2若a=n,注意到n≥3,则a-2≥1.

引理 2对2≤k≤r-1,3≤r≤n-1,有

其中

a1b1

对任意的j,p∈{1,2,…,i-1,i,i+1,…,k-1,k}有

|aj-ap|=|bj-bp|.

情形1若存在j∈{2,3,…,i-1,i,i+1,…,k-1,k}，使得aj-aj-1≥3.

如果i

β=

γ=

如果i=j,令

如果i>j,令

情形2若存在j,p∈{2,3,…,i-1,i,i+1,…,k-1,k}且j≠p使得aj-aj-1≥2且ap-ap-1≥2,不失一般性,不妨设j

如果j

如果j

β=

γ=

如果j

如果i=j

β=

γ=

如果i

如果i

β=

γ=

如果i=j,令

如果i>j,令

β=

γ=

若bk

如果i

β=

γ=

如果i=j,令

如果i>j,令

β=

γ=

情形4对任意的j∈{2,3,…,i-1,i,i+1,…,k-1,k}使得aj-aj-1=1.利用保序性和保距性可知:对任意的j∈{2,3,…,i-1,i,i+1,…,k-1,k}使得bj-bj-1=1.由2≤k≤r-1,3≤r≤n-1可知k≤n-2,即k+2≤n.

如果a1≠1且b1=1,令

β=

γ=

如果a1≠1且b1=2,令

如果a1≠1且3≤b1≤n,令

如果ak≠n且b1=1,令

如果ak≠n且b1≠1,令

引理 3设α,β∈OPD(n,r),若(α,β)∈J*且(α,αβ)∈J*,则(αβ，β)∈L*,(α,αβ)∈R*.

证明设α,β∈OPD(n,r),若(α,β)∈J*且(α,αβ)∈J*,则

|Im(α)|=|Im(β)|=|Im(αβ)|.

再由

Im(αβ)⊆Im(β), Ker(α)⊆Ker(αβ),

与[n]的有限性知

Im(αβ)=Im(β), Ker(α)=Ker(αβ),

即

(αβ，β)∈L*, (α,αβ)∈R*.

推论 1设自然数n≥3,则

引理 4设自然数n≥3,则

证明由引理1的证明过程易知

显然有

rank(OPD(n,0))=1.

M={α1,α2,…,αi-1,αi,αi+1,…,αn-1,αn},

则

当i

α=αiαi+1…αj-1;

当i=j时,有

α=αiαi+1…αn-1αnα1α2…αi-2αi-1;

当i>j时,有

α=αiαi+1…αn-1αnα1α2…αj-2αj-1.

OPD(n,1)=〈M〉.

再结合推论1立即有

对其余的同距类也用类似的方式进行构造,可以得到集合

若|[A]|=1,则

α=εA=εIm (α).

若|[A]|≥2,则:

当i

α=αiαi+1…αj-1;

当i=j时,有

α=αiαi+1…αm-1αmα1α2…αi-2αi-1;

当i>j时,有

α=αiαi+1…αm-1αmα1α2…αj-2αj-1.

因此,结合推论1与引理4,立即有

定理3的证明当l=r时,显然有

r(OPD(n,r),OPD(n,l))=0.

当0≤l

即证得

r(OPD(n,r),OPD(n,l))=

注 1半群

OPD(n,n)=OPD(n,n-1)∪{ε[n]}

rank(OPD(n,n))=n+1.

致谢贵州师范大学研究生创新基金(YC[2018]023)对本文给予了支持，谨致谢意.