导弹部队作战路网稳健性建模与分析

吴闰平，刘卫东，杨 萍，韩慧华

（火箭军工程大学，西安 710025）

0 引言

随着科学技术的高速发展，敌侦查监视设备侦查范围广、速度快、效率高，且不易受天气地域条件限制，可对我作战路网实行长时间、大范围的连续侦察监视。在现有作战条件下，我方部分导弹依旧采用固定场坪发射，在作战过程中，导弹发射装置从待机阵地将导弹机动至发射阵地进行发射，敌通过侦察监视设备获取我方路网特点，通过分析对我重要道路节点实施精确打击，以延缓或破坏我方导弹发射流程。展开对作战路网稳健性分析，对我路网情况进行分析，以便在实战过程中受敌打击破坏后产生较小影响，继续导弹发射流程，达到作战目的。

1 路网评价指标

在民用领域，针对城乡路网及公交复杂网络相关理论研究已经较多，主要针对复杂网络的无标度性、小世界性、可靠性、中心性以及路网的动力学过程等进行相关研究［3-4］。在导弹机动作战领域，由于作战路网与城乡路网具有本质的区别，作战路网道路一般分布在偏远地区，道路容量较小，且作战过程对时间的准确度要求较高［1-2］，路网的抗打击破坏能力较强等，因此，基于复杂网络理论对导弹作战路网稳健性进行研究具有重要意义。本文主要从路网最大连通子图、平均路长、路网效率、聚类系数等方面对导弹作战路网进行分析。

1.1 最大连通子图

连通子图指在路网中通过最少的边把路网中的节点连接起来的子图。其中最大连通子图指的是各个子图中节点数最多的子图的节点数与总节点数的比例。如图1 所示。

图1 最大连通子图

节点A、B 遭到破坏而失效，将原有的路网分割成一个有4 个节点的最大连通子图和4 个其他的连通子图。且最大连通子图的比例为4/10=0.4。

1.2 平均路长

平均路长表示在整个路网中，每个节点连接其余所有节点的路径长度的平均值，通过平均路长这个指标可以反映出整个网络的联通情况。其中，平均路长可以表示为：

其中，N 为网络节点数，dij为i 和j 之间的距离即连接两个节点的最短路径的边数。

1.3 路网效率

路网效率表示两个道路节点i 和j 之间距离的倒数，当两个道路节点没有道路相连时，路网效率为0。对整个路网效率而言，将所有两个道路节点之间的路网效率的平均值定义为全局效率，用Eglob（G）表示，

其中，E（Gi）表示两节点之间的效率，dij表示两节点之间的距离，N 为路网中节点总数。

1.4 聚类系数

聚类系数用C 表示，表示网络的聚集程度。C 越大，即表示网络越紧密，反之，表示网络较为松散。

其中，TEi表示节点i 与其余节点连接的边数，ki（ki-1）/2 表示与节点i 相连接的ki个节点间最大的连接边数。

1.5 动态时间指标

考虑到发射装置在实际作战中对时间要求较高，基于实战情况下的路网不仅要考虑路网本身的稳健性，还要考虑发射装置在路网上所用时间的变化。同动态距离指标类似，这里引入节点删除法将选择中的节点设置为一个较大的数字，以使得在重新规划路径及时间的基础上，避免对此节点的重新选择且仍保持原有路网的基本特性。令

2 打击策略指标

在实际作战情况下，敌方依靠高科技侦察设备，对我方作战区域进行侦查，并分析我方路网分布情况，对分析得出的重要节点进行打击。在一般情况下，敌方可能会考虑到的道路关键因素有以下几项。

2.1 节点连接度指标

路网信息一般可以表示为G（V，E，LE），其中，V表示节点集，E 表示边集，LE表示节点连接情况。节点的连接度表示为路网中与此道路节点相连接的道路数，表示为：

其中，ki表示连接度；aij、aji表示邻接矩阵中的部分元素，其中，aij、aji为1 表示i 与j 相连接，aij、aji为0表示i 与j 不连接。如果一个节点的连接度较大，就可以看出如果此点遭受到敌方的打击后，对整体造成的影响将会更大，如图2 所示，节点J 连接4 条道路，如果节点J 遭受敌方打击失去作战效能，这4 条道路将失效。

图2 节点连接度示意图

但考虑在实际路网情况下，存在部分道路节点连接度较小，但通过间接连接关系与部分高连接度节点连接，如果仅仅考虑高连接度节点，将会对此类的重要节点有所遗漏，如图3 所示。

图3 节点连接度示意图

2.2 节点介数指标

节点的介数指标是指在给定的一个路网中，通过计算求得的通过这个节点的最短路径的数目与所有最短路径数目的比值，记为：

其中，ηjk表示节点j 与节点k 的最短路径数目；ηjk（i）表示连接节点j 与节点k 且经过节点i 的最短路径数目。

图4 节点介数示意图

如图4 所示，分别表示由上层起始道路节点到达中间道路节点再到达目标道路节点，而在图4（a）中，从上层起始道路节点到达最终目标道路节点可以有3 个道路节点可供选择，节点U 介数较低，即使U 遭受打击，整体路网依然可以连通；而图4（b）中由上层道路节点到达下层目标节点只有一个道路节点可供选择，节点介数较高，如果中间道路节点遭受打击，则整体道路将会失效。

2.3 节点重要度指标

对节点介数、度数的考虑是从静态的方面对路网进行分析，考虑到在实际的作战过程中，整个作战过程是动态的，如果仅仅考虑节点连接度、节点介数的指标存在片面性，因此，需要考虑在实际作战过程中导弹发射装置对道路的选择情况，构建节点重要度指标。在路网中，各个节点之间相互连接，一个道路节点的失效，将会导致整体导弹发射装置机动方案的变化，而机动方案的变化又会引起新的节点失效，所以整个路网并不是一个静态不变的网络，而是一个变化的动态网络。

在以往的处理方式中，都是对此类重要节点进行删除，进而分析其他节点的影响，但是考虑到节点的删除会让整个路网不连通，在时间计算过程中会使得所用时间趋于无限大，为此，并不将道路节点简单地删除，而是增加其与之相连的网点之间的路程，这样就可以解决由于路网不连通而导致机动时间无限大的问题，并且可以方便地比较路程增加后，对整个路网连通的影响。即在删除道路节点后，最短路径变化量为

3 研究假设

针对复杂网络有关稳健性的相关研究理论，将复杂问题逐步进行求解，假设如下：

1）将作战路网中的各个节点看作复杂网络之间的节点，相邻的道路节点之间的路径作为复杂网络的边；

2）遭受破坏的节点或边将在路网中失效；

3）与失效的节点相连的道路也将会失效；

4）在精确打击情况下，敌对我方路网情况有所了解，但对我方作战意图及机动方案并不清楚。所以在实施精确打击时，会采取某种策略进行打击，通过不同的打击策略打击的道路节点可能不同，对整体路网造成的影响不同；

5）通过道路节点，节点与节点之间的边连接起来，道路结构就构成了整体的路网框架。在整体的路网框架中，只要节点与节点之间相连，就可以保证通行，但在通行的过程中，应充分考虑道路容量问题，部分单行道不允许在机动过程中出现道路会车、超车情况。

4 算例分析

根据2017 年研究生数学建模E 题路网及某优化机动方案进行稳健性分析，路网如图5 所示。

图5 作战区路网

已知两个波次的最短机动路径如表1 所示。

表1 两波次最短机动路径

其中，D 表示待机阵地，J 表示道路节点，F 表示发射阵地，Z 表示转载阵地，总计用时127 h。

4.1 高连接度节点打击策略

对下页表2 中节点度数较高的节点J03，J21，J25，J27，J28，J32，J44 等按照大小顺序进行精确打击，通过结果判断路网的空间脆弱程度，并分析平均路径长度、最大连通子图、网络效率与节点比例的关系如下页图6 所示。

表2 节点度数统计

图6 打击高连接度节点图

通过分析可以看出，在对高度节点精确打击下，平均路径长度呈现先迅速变大后再变小的过程，这在实际中也是相符的，通过打击部分节点连接度较高的节点，将部分节点之间的路径长度变长，即使此时损失了部分节点，但由于这部分节点的损失对整体的平均路径长度的影响更大，所以平均路径长度呈现了先上升的趋势。之后通过精确打击其余节点，道路情况受损严重，平均路径长度降低。通过实验仿真可以看出，该路网在平均路径长度这个指标方面抗打击能力较强，路网稳健性较好，当节点损失率达到将近20 %时，路网平均路径长度依然保持80 %连通性。路网连通子图开始保持一定速度持续下降，等到节点遭受破坏达到将近50 %左右时，路网呈现碎片化，这表明路网对精确打击的抗打击能力较强，不会因为部分少数节点的损坏使整个路网碎片化；删除节点之后对路径重新规划可以看出，总体时间变长，但开始变化较小，随着节点减少数目的增加，所用时间变得更长，当节点数目减少到70 %左右时，时间比例变为0，这表明由于节点的损失，已经无法完成发射任务，所用时间无限长。通过分析可以看出，整体路网稳健性依然较强，当节点损失率达到将近30 %左右时，路网所用时间与原来所用时间之比为0.8。

表3 节点介数

4.2 高介数节点打击策略

对表3 中节点介数较高的节点J21，J40，J41，J48，J06，J12，J13，J32，J37，J38，J46 等 进 行 精 确 打击，判断路网的脆弱性，并分析平均路径长度、最大连通子图、网络效率与节点比例的关系如图7 所示。

图7 打击高介数节点情况

通过分析可以看出，在对高介数节点实施打击时，平均路径长度也先迅速变大之后迅速变小，在实际中表示通过打击高介数节点，大多数最短路径被破坏，通过重新选择路径，平均路径长度变长，随着精确打击其余节点数目的增多，更多的节点孤立出来，道路情况受损严重，平均路径长度降低。通过实验仿真看出，该路网在平均路径长度这个指标方面抗打击能力依然较强，路网稳健性较好，当节点损失率达到将近20%时，路网平均路径长度依然保持80%连通性。路网连通子图开始保持一定速度持续下降，等到节点遭受破坏达到将近50 %左右时，路网呈现碎片化，这表明路网对精确打击的抗打击能力较强，不会因为部分少数节点的损坏使整个路网碎片化；删除节点之后对路径重新规划可以看出，总体时间变长，但开始变化较小，随着节点减少数目的增加，所用时间变得更长，当节点数目减少到60 %左右时，时间比例变为0，这表明由于节点的损失，已经无法完成发射任务，所用时间无限长。通过与打击高连接度节点相比，打击高介数节点对整体时间的影响显得更加明显。通过分析可以看出，整体路网稳健性依然较强，当节点损失率达到将近20%左右时，路网所用时间与原来所用时间之比为0.8。

表4 节点最短路径变化量

4.3 重要节点打击策略

精确打击重要节点J13，J15，J07，J08，J09，J14，J04，J03，J37，J44 等（见表4），判断路网的脆弱性，并分析平均路径长度、最大连通子图、网络效率与节点比例的关系，如图8 所示。

图8 打击重要节点情况

在对重要节点实施打击时，平均路径长度随着节点损失率的增加而变小，平均路径长度降低。通过实验仿真可以看出，该路网在平均路径长度这个指标方面抗打击能力依然较强，路网稳健性较好，当节点损失率达到将近15%时，路网平均路径长度依然保持80%连通性。路网连通子图开始保持一定速度持续下降，等到节点遭受破坏达到将近60%左右时，路网呈现碎片化，这表明路网对精确打击的抗打击能力较强，不会因为部分少数节点的损坏使整个路网碎片化；删除节点之后对路径重新规划可以看出，总体时间偏长，但开始变化较小，随着节点减少数目的增加，所用时间变得更长，当节点数目减少到50%左右时，时间比例趋于0，这表明由于节点的损失，路网各个节点之间已经不连通，无法完成发射任务。通过与打击高连接度节点相比，打击高介数节点对整体时间的影响显得更加明显。通过分析可以看出，整体路网稳健性相比高度数节点与高介数节点发射装置所用时间的影响更加明显，当节点损失率达到将近10%左右时，路网所用时间与原来所用时间之比为0.8。

5 结论

通过精确打击高连接度节点、高介数节点和重要节点等策略，对路网最大连通子图、路网平均路径长度以及动态时间比例等因素进行分析，通过仿真计算可以看出，在精确打击高连接度节点、高介数节点和重要节点时，当节点攻击达到20 %左右时，路网依旧能够保持较好的连通性能，路网抗打击性能强，稳健性较好；当失效节点数目达到总结点数目的60%左右时，路网逐渐趋于瘫痪、碎片化。