基于紧致插值方法对气动制动管路研究

2019-11-18

液压与气动 2019年11期

(内蒙古科技大学机械工程学院, 内蒙古包头 014010)

引言

随着当今工业产业的迅速发展，人类对能源越来越依赖。在开采资源的过程中，重型卡车是能源运输的核心环节，重型卡车制动性能亦成为主要的研究方向。为了减少事故的发生，需要提高制动系统的制动性能。重型卡车制动力不足的主要原因之一就是管路泄漏。通过经济性和能源环境等诸多因素分析，气动制动系统已经成为重型卡车制动力输送的核心环节。

气动制动管路中建立的气体动力学方程均为双曲偏微分方程。由于计算双曲偏微分方程较为复杂，并且考虑热交换和摩擦等因素影响，解双曲偏微分方程的理论解的过程需要大量的数学研究。贾对红[1]通过解一类的双曲型偏微分方程的混合问题, 利用分离变量法得出非平凡的理论解。熊君等[2]将半线性偏微分方程边界条件进行模糊处理，得到了有效的控制双曲偏微分方程的边界控制方法。赵洪铺等[3]结合工程热力学理论和流体数值模拟方法,提出了气动执行部件在气动系统中的重要性，并且得到气动部件在实际参数变化范围钢管长度、管径和弯头个数等因素对气动部件动作时间的影响。牧彬等[4]通过充气试验台对管路充气过程进行仿真实验，仿真结果表明,下流区域比例阀开口变化对管路部分影响较大，当长时间充气则提高管路部分的疲劳寿命。为了提高管路部分研究的理论依据，通过把管路进行网格化，在时间和空间上进行差分计算，利用该研究方法得出研究管路中变量参数的理论状态解。张顺锋等[5]通过对液压滑阀的网格化分析，利用CFD方法证明了滑阀开启过程在仿真中的可靠性。张坤等[6]在研究毛细管力对非晶体聚合物的过程中，利用差分网格的方法，应用润滑近似理论求解所建立的热压印控制方程,并对分析结果进行了实验验证。HASHIMOTO K等[7]提供了网格的偏微分结构来计算更大的管路压力，但那样近似只是用一阶精度方法计算，并且时间解必须满足较小值来避免产生分歧。紧致插值方法作为液压的研究已经相对成熟，通过紧致插值方法对流体内部具体网格的分析精度得以大大提高。ZHAO等[8-9]在分析流体运动时，基于差分格式下的紧致插值方法解双曲偏微分方程，通过圆柱绕流、堤坝实验等证明了利用紧致插值方法在流体的研究中精度更高，稳定性更好。宋明彦[10]在论文中具体阐述了紧致插值方法的应用过程，通过增加网格而就散时间不变的前提下，利用该方法计算偏微分方程，研究结果表明，不仅提高了时间研究精度，而且也提高了网格空间研究精度。HE L[11]用AMESim，Simulink和MORKS建立制动模型和研究压力特性，但是关于商业软件包的算法是保密的，于是很难再应用其对于不同需求的制动系统进行研究。桑勇等[12]通过ANSYS软件分析大流量管路特性，而忽视了影响管路模型的内在特征。因此，对于理论解下网格内部高精度分析需要利用紧致插值方法来进行进一步的分析研究。

1 气动制动管路模型建立

1.1 管路数学模型建立

在重型卡车的气动制动系统中，一般管路直径在4～12 mm范围之内，其管路长度远远大于直径。由于气体具有可压缩性，则视管内气体流动为一维非定常流。在设计气动制动系统的过程中，把管路部分作为独立元件分析是非常重要的。图1为一个简化后的气动制动系统模型。

图1 气动制动管路模型

气体由空气压缩机进入气囊，再由气囊经过管路通过减压阀进入制动气室。随着减压阀口的开合，不断进入制动气室从而完成车辆制动。

管路内气体流动的动力学方程主要是双曲偏微分方程，具体方程如下：

1) 状态方程式

p=ρRθ

(1)

式中，p—— 管路内气体压力

ρ—— 气体密度

θ—— 热力学温度

其描述了管路内3种变量之间的状态关系。

2) 气体连续方程

依据气体动态特性，则气体在管路中满足气体的连续方程、运动方程和能量守恒式。于是，可以描述为以下控制方程：

连续方程式：

(2)

式中，u—— 管路中气体流动速度。

连续方程是反映单位时间内进出气体微团的质量差与密度变化之间的关系。

3) 运动方程式

(3)

式中，D—— 管路直径

λ—— 管路内壁的摩擦系数

运动方程是反映气体微团的质量和加速度与微团所受外力的总和的关系。

4) 能量守恒式

(4)

式中，A—— 管路截面积

h—— 空气与管壁间的传热率

e—— 单位质量气体的内能

θα—— 大气温度

θ—— 空气绝对温度

质量守恒式是反映气体微团在单位时间内所吸收的总热量与该微团内所存储的总能量的变化与其所产生的压力对外做功之间的关系。

上述气体管路方程可以通过传统一阶迎风差分方法计算出管路内气流在管路中任意点、任意时刻关于压力、流速及密度的状态值。由于考虑气体的可压缩性、管壁摩擦因素等影响，于是在分析管路内气柱的过程中其精度较高。

1.2 管路模型网格化

为了通过使用计算机对管路模型进行仿真，需要采用迎风格式对气体运动方程、连续方程和能量守恒式进行网格化。如图2所示，对管路进行网格划分，并在管路两端加入虚拟参数边框作为管路计算边界条件。

图2 管路网格划分

1) 连续方程式

(5)

式中，i—— 管路等分编号

n—— 时间步数

Δx—— 空间步长

2) 运动方程式

(6)

3) 能量守恒式

(7)

通过对管路的网格划分，发现每个时刻所求的密度、压力和温度都需要上个时刻中所有相关的状态变量的值。因此，计算管路各个步长的状态值需要每个状态的初始条件，也就是在网格化后，0时刻的每一个状态值。通过初始时刻的状态值依次通过计算机推出下一个时刻状态值。

2 紧致插值方法

2.1 紧致插值模型介绍

紧致插值方法是模拟流体变化的一种较为成熟的算法，主要应用于流体内部交叉和流体表面变化的复杂形状的界面移动问题。当遇到流体数值扩散和不稳定等问题，需要对流体网格内部信息得到更加准确的数值。于是需要大量的网格应用于计算仿真当中。然而一阶导数对于网格的分析精度较低，于是可以利用三次多项式进行插值近似。其方法所得到的都是时间和空间上的三阶精度的显示稳定格式。气体作为一种特殊流体已经广泛应用于生产当中，利用精度更高的方法作为研究气体状态的依据是非常有必要的。

下面公式为气体的一般偏微分方程：

(8)

如果u是正数且为常数，则分析方法为f(t,x)=f(t-Δt,x-Δx)，这就意味着节点的值到下一个时间断的值可以通过目前时刻的值获得。下面给出一阶差分格式其工作原理图。

如图3所示，其中图3a～图3c是迎风差分格式的原理分析图，通过原初始波在经过uΔt后波之间的关系，由点与点之间的直线连接来展示函数情况的。而图3d是紧致插值方法采用一种独特的方式，在一个网格内实现了高阶差分格式，通过利用空间网格点的变量值及其空间导数值，来描述该网格内的信息，可逼真地再现网格内的信息，函数是通过uΔt形式进行漂移的。

图3 紧致插值工作原理

2.2 紧致插值原理

如果我们所知的(x-uΔt)是在两个节点之间，那么我们需要通过在两节点间插值，即高精度的插值方程为：

f(x)=ai(x-xi-1)3+bi(x-xi-1)2+

(9)

上式中系数由下面方程得：

(10)

(11)

(12)

di=fi

(13)

于是可以得到下一个时间段函数值和其导数值：

(14)

(15)

对于一阶迎风差分格式来说，利用直线的方式联立相邻2个节点的信息来工作，而忽略了网格内部的信息，会导致较大的数值耗散。为了真实地再现网格内部的信息，于是我们需要借助于紧致插值方法对气动制动管路进行分析。

3 数值仿真分析

3.1 数值算例

为了更好理解管路中使用紧致插值方法在气动制动系统中管路差分格式下的研究过程，通过下面数值算例进行说明。选取管路长度为20 m，将管路等分400份，管路内径为6 mm，时长2 s，时间步长设为0.01 s。气体从最左端进入制动系统管路部分。初始状态，管路进气压力为0.7 MPa，下流端为标准大气压且管路中声速流导C=0.5 dm3/(s·bar)。按照上述网格模型计算，我们计算任意管路空间步长的状态变量，需要设出2个端部的虚拟网格0和N+1。然而管路等400份，则最右端为401，由这两个特殊的格子确定管路边界条件。对于初始速度第0个格子压力可设与第1个格子的相同，通过差分仿真分析求出最右端下流的速度，遵循下面计算流程图计算求出各个状态变量，如图4所示。