妙用反例促教学

刘娟

[摘  要] 在培养学生数学核心素养的前提下，教师利用学科教学和不断实践，探索和提高学生的逻辑推理能力. 教学中不断渗透反例教学，可以帮助学生牢固掌握知识点，证明命题不成立，进而巩固知识，防微杜渐.

[关键词] 反例教学;一元一次方程;证明

“反例”就是一些例子，它与某一命题的条件相符却与该命题的结论相悖. 换句话来说，就是说明某一命题不成立的例子. 从另一个角度去看，由于这些例子可以证明某一命题不成立，那都可以看作“反例”. 数学课堂教学中，需要探讨的“反例”都具有一定的数学意义，并立足于数学已证实的理论和逻辑推理的基础之上. 数学中的有些问题，即使是通过绞尽脑汁的推演也毫无头绪，这时通过举反例这种“另类”的证明方式，却可以证实“这一命题不成立”属实. 数学学科的发展离不开“反例”与“证明”的推动，当然，数学教学的推进也同样需要它们的参与. 简洁、直观，具有说服力这一系列特征让“反例”更好地立足于数学教学，并发挥着独一无二的作用. 如何合理地运用反例推进教学进程，不断激发学生思考问题的能力，培养学生的核心素养呢？笔者结合自身的教学实践与经验，借助实例为引，谈一谈反例在初中数学教学中的巧妙运用.

借助反例，巩固知识点的理解

学生在数学学习中，经常会被一些易混淆、难理解的知识点所困扰. 他们时常无法理清知识点中蕴含的本质属性，即便是教师数次强调和提示也无济于事，他们依然会错. 此时若适时地将“反例”引入讲解中，并借助“反例”巩固学生对此知识点的理解，必将取得出乎意料的效果.

例如，学生在学习判定三角形全等时，涉及一种判别方式为“如果一个角和夹这个角的两条边对应相等，那么这两个三角形全等”. 在这个判别方法中，“夹这个角的两条边”这一条件需着重强调. 因此，教师可以在此处提出这样一个问题：“如果两个三角形中，一个角和两条边都对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？”这里教师提出的问题与数学教材中涉及的定理有所偏差，不少学生都能进行正确的判断，认为这个观点不一定成立. 此时，教师可以适时进行追问：“哪位同学可以举一个反例说明这个观点？”学生进行合作探讨，教师巧妙抓住机会，进行引导：“我们是不是可以借助一个方法来进行说明呢？比如图形. ”经教师此番提醒，学生们顿时兴趣倍增，一个个都跃跃欲试，尝试着画图. 此后，经过独立思考，合作交流，总结归纳出了如下的反例：

如图1所示，在等腰三角形ABC中，D为边BC上的任意一点，且AB=AC，那么三角形ABD和三角形ACD中，∠B和∠C相等，并且满足边AB=AC，边AD=AD，而很显然三角形ABD与三角形ACD不全等.

如图2所示，有三角形ABC，现将边CB延长至点D，连接AD，并且AD=AC，那么三角形ABC与三角形ABD中，公共角∠B=∠B，并且满足边AD=AC，边AB=AB，而很显然三角形ABC与三角形ABD不全等.

如图3所示，有等腰梯形ABCD，其中AB=CD，连接BD，现三角形ABD与三角形CDB中，∠ADB=∠CBD，并且满足边AB=CD，边BD=BD，而很显然三角形ABD与三角形CDB不全等.

借助以上的教学情境和反例推进，学生做出如下总结：在运用此判别法进行判别时，关键条件为“一个角以及夹这个角的两条边”，而这里所说的“两条边”不是任意的两条边. 与此同时，借助于“反例”证实了命题“如果一个角与两条边对应相等，那么这两个三角形全等”错误. 通过反例，围绕培养学生的数学核心素养，创新问题情境，并激发学生深度思考，加深了学生对知识点的透彻认识和牢固掌握.

借助反例，证明命题不成立

数学教学中，可以证明一个命题不成立的具体方法有以下两种：一种是通过正面直接证明，二是借助反例证明. 教师在引导学生理解和掌握数学概念时，正例的参与必不可少，还需借助反例从多个不同角度去巩固概念. 在习题训练中，学生可以借助“反例”更好地理解和解决判断题这一题型. 例如，判断以下的命题是不是真命题：

（1）已知两个角为互补关系，那么这两个角中有一个角是锐角，一个角是钝角.

（2）一个无理數与另外一个无理数相加的和一定是无理数.

（3）已知两个三角形面积相等，那么这两个三角形是全等三角形.

以上命题中的数学语言对于初中学生来说较抽象化，极易出错，假如运用反例来证明就相对容易一些. 比如问题（1）中，我们只需要出示反例“两个直角也为互补关系”;问题（2）中，我们只需要出示反例“+-=0”;问题（3），我们只需要出示反例“已知Rt△ABC与Rt△DEF，前一个直角三角形的两条直角边都是2，面积是2，后一个直角三角形的两条直角边是1与4，面积也是2”，由此可见，二者的面积相等却不是全等三角形.

从上述例子可以得出，举反例有以下优点：借助一个反例就可以轻松证实命题不正确. 因此，教师应主张学生找寻反例，借助反例有效准确地解决数学问题.

借助反例，巩固知识

教师在数学课堂教学中，可以借助反例，引导学生进一步巩固知识内容，实现高效课堂教学[1].

学生在对这个例子进行观察时，洞察到了以下错误：在进行去分母时，方程式右边“1”漏乘了“6”;在去分母之后，“4x-1”未加上小括号;在去括号时，“3x-1”中的“-1”漏乘了“2”;在进行移项时，“-4x”忘记在从等式右边移至左边时更改符号.

这道题是反例中最具典型的例子，它囊括了学生在“解一元一次方程”时会犯的所有错误. 在指导学生逐一解决这些问题后，教师可以要求学生在每次练习前都将这些反例进行回顾，并思考一下注意点有哪些，进而更好地杜绝错误，理清思路，解答问题. 数学教材中涉及的诸多例题全都是正例，作用在于引导学生规范解题，积累解题经验[2]，与此同时，适时将反例穿插运用能更好地促进学生理解. 因此，在数学教学中，教师需将两者结合起来，合理运用，帮助学生巩固知识，预防错误，实现教学相长，并逐步形成解题智慧.

总之，数学教学活动，不仅需要传授学生数学知识，更需要渗透产生数学知识的技巧. 借助反例教学这一载体，能更好地帮助学生巩固理解，及时纠错，激发学生创造力，提升学生的数学品质，培养学生的核心素养.

参考文献：

[1]王光明. 高效数学教学行为的特征[J]. 数学教育学报，2011，20（1）：35-38.

[2]罗增儒. 数学解题学引论[M]. 西安：陕西师范大学出版社，2008.