例说解决一元一次方程问题的十大对策

徐初标

【摘要】本文通过分析具体的例子来介绍“解决一元一次方程的十大对策”（下文介绍），目的就是让学生在掌握这些思想方法与解题技巧后，可以更深刻地理解和领会数学知识的联系，真正把握住数学知识的脉搏，在不知不觉中培养能力，提升自身的数学素养。

【关键词】例说 解决 一元一次方程 十大对策

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）01-0161-02

一元一次方程是初中代数的重要内容，也是学习方程、函数等数学知识的基础。众多的报刊也都介绍过解决一元一次方程问题的方法和技巧，但要使学生真正能运用这些方法和技巧来解决一元二次方程的问题，并非易事，若能找到解决问题的载体，使一些常用的思想方法、解题技巧等能够进一步灵活运用，做到“解一题，通一律”，则对于提高学生的学习兴趣，减轻学生的课业负担，必然会有较大的帮助。本文笔者就举例来说说解决一元一次方程问题的十大对策，与同行交流。

一、等价转化，无中生有。

在数学解题中，经常会碰到这样的情形：当你无法直接解决一个问题时，你就会想，这个问题可否等价转化为另一个问题来解决，下面这个例子就是这种情形。

例1（2014温州市七年数学针对性训练）当x取何值时，代数式与x-2是互为相反数。

取一个未知数x的值，使得与x-2互为相反数是非常困难的，但是如果把这个问题转化为一个方程+（x-2）=0（或=-（x-2）），那就容易多了，这种问题之间的等价转化，在数学的解题中，应用的频率也是非常高的。

二、缩小范围，关门捉“贼”。

这是浙教版老教材第五章第一节的一个例题（例2）：一名射击运动员，两次射击的成绩都是整数，平均成绩为6.5环，其中第二次成绩为9环，问第一次成绩是多少？

当然，这个问题比较简单，可以用算术解，如果用方程来做，可以直接设第一次射击的成绩为x环，则得到方程=6.5，要解出x的值，方法较多，由于考虑到实际问题，在射击运动这个项目中，每次射击的成绩是整数环，且第二次成绩是9环，所以可先估计x的范围：0≤x≤6，且x为整数，然后取x=0，1，2，3，4，5，6。接着把这些值分别代入方程 =6.5的左边，求代数式的值就可以了。（列表求值）

x 0 1 2 3 4 5 6

4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5

由表格可知，x=4是=6.5的解。

由此，我们也可以得出解决一元一次方程的一种不常用的好方法——列表举例，其本质是根据题意缩小自变量的范围，起到“关门捉‘贼”的作用。

三、正难则反，围“魏”救“赵”。

例3：已知5x+3=8x-2与这两个方程的解是互为相反数，求a的值。

在解数学题目时，有时正面去解决一个问题比较困难，这时我们便可以从它的反面入手，先去解决其他一些问题，最后就可以得到我们所要的结果，下面是这个例题就体现了这样一种策略。

对于这个题目，正面去解，将5x+3=8x-6解出x=3，而 可以得到，再由题意可知，，解得a=29。

若先将方程5x+3=8x-6解出x=3，然后再去考虑这两个方程的解之间的关系（互为相反数），则这个题就迎刃而解了（只要把x=3代入就到了）。

上面的例子告诉我们：“正难则反，围‘魏救‘赵”这一种策略值得使用。

四、适时换元，“金蝉”脱“壳”。

例4：方程26-5（）=8（）的解是x=。（自编题）

这是一道看似比较繁琐，其实比较容易的一元一次方程的求解题，若按常规解法，去掉括号解方程，不仅计算量较大，而且所得结果也不一定正确。但你只要仔细观察方程，就可以发现括号中系数虽然较大，但方程中这个代数式如果设为另一个未知数y。此时方程可变为26-5y=8y，从而就很容易求出y的值，然后将y的值回代入y=，最终就可以求出x的值。

上面這类题目让我们明白一个道理：适时换元，可如金蝉脱壳般得出结果。

五、分离变量，隔“岸”观“火”。

例5：当a，b分别为多少时？方程为一元一次方程。（自编题）

这个方程在形式上是一元二次方程，要使它是一个一元一次方程，那我们就应该想到一般一元一次方程的一般形式，根据一元一次方程一般形式，我们就有了两种思考方法：其一，方程他两边对比系数可得，当a=3，且b≠-1，方程就是一个一元一次方程。其二，通过移项，将方程中所有的项都放在等号的左边：，左边进行变量分离之后得到：，根据一元一次方程的一般形式，就可以得出而a=3，且b≠-1时，方程就成为一个一元一次方程。

上述例子，可以告诉我们：解一元一次方程相关的一些题目可先通过分离变量，然后进行方程左右两边分数对比，很快就得出所要求的答案。

六、消除根源，“釜”底抽“薪”。

例6：解方程（自编题）

在学习去分母解一元一次方程时，同学们常常会遇到分母是小数的方程，这时许多同学都会感到无从下手，也常常因不理解而出错。其实这个问题可用多种方法去解决：

方法一：利用分数的基本性质将各小数分母逐步化为整数，然后去分母。

方程转化为：

方法二：利用等式性质2，将各个分母是小数的同时化为分数，然后再去分母。

解方程可转化为：（方程两边同时乘以1/10）

方法三：利用式性质2，方程两边同时分别乘以0.3与0.2的一个合适的倍数，可接去分母。

即

方法四：利用分数的意义（分数线相当于符号）改等成带括号的形式。

解方程转化为：

即

当然，如果学生自己能想到上述四种方法的几种，那是自然不过的，反之，要得出上述的这些方法，老师的引导就起着关键性作用，一旦找到了消除分母是小数的方法后，老师就可以放开手脚，留给学生自己去解决，应该说没有问题。这就是“消除根源，‘釜底抽‘薪”的解题策略。

七、巧设方程，“混水”摸“鱼”。

每次教应用题时，不仅老师教得非常辛苦，学生学得也很头痛，而且效果也不太理想。

例7：小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或做盒盖3个，且1个盒身和2个盒盖恰好做成一个包装盒，为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套，为了不浪费的板纸，请你对该厂购白板纸的张数n提一条合理化的建议。（根据作业本改编）

首先，这个题目比较长，再则题中涉及的量较多，这样一来关系也就比较复杂了，那么，我们如何去解决呢？读完题目之后，我们得到的主要信息是：无论盒身，还是盒盖都是由白板纸做成的，且不浪费白板纸，说明这几张白板纸却应该用完，这n张白板纸中，一部分用来做盒身，剩下的另一部分做盒盖，并且还知道每张白板纸做盒身2个或做盒盖3个，且1个盒身和2个盒盖做成一个包装盒，若知道了这些信息，就不难去设一个数量了（可设x张白板纸做盒身，（n-x）张白板纸做盒盖），然而利用1个盒身和2个盖身做一个包装这关系，可列方程：，对于这条方程，虽然与我们要解决的问题还有一定的距离，但通过一定的变化可得7x=3n，由于考虑到n，x却是正整数，我们可以购买的白板纸的张数，只要是7的倍数就不会浪费。

上述的例子让我们深有体会：当一个问题涉及的量大，关系比较复杂时，我们若能通过深刻地分析，然后巧设一个方程，再经过一定逻辑推理，就可以找到我们所需要的答案。这就是“巧设方程，‘混水摸‘鱼”这一解题策略。

八、整体思想，瞒“天”过“海”。

例8：解方程

这个题目在前面我们已经讲到过，用的是换元的思想对解题过程作了一定的分析，现在又用另一种思想去考虑它，观察这个方程的特征，方程的左边与右边中都有（）这一块，我们可以把它看成一个整体，通过移项后进行合并，则可得方程。

通过这样变形真巧，发现-26被-13整除，所以，即，从而可得。

可见，运用整体思想可以悄然地得出这个方程的解。

九、变更主元，反“客”为“主”。

在有几个变元的问题中，常常有一个或（几个）变元处于主要地位，我们不妨称之为主元。由于思维定势的影响，人们在解决这一类型问题时，总是紧紧抓住主元不放，一般情况下这是正确的。但有些情况下，如果变更主元，即把某个处于次要地位的未知数突现出来，常常能取得出人意料的效果。例如，已知解x的方程（a为整数）的解为正整数，求a的值。（例9）（自编题）

我们可以将先变为因为方程左边等于4，所以a-4不可能为零，则可得，由题意知，x为正整数，且a为整数，这就转化为对a-4进行讨论，从而可得a-4=1或2或4，最后a=5，6或8.

上述的例子就是一种“变更主元，反客为主”的解题策略。

十、合理选法，“走”为上策。

例10：一标志性建筑的底面是正方形，在其四周铺上花岗石，形成一个边宽为3.2米的正方形方框。（如图），已知铺这个框恰好用了144块，边长为0.8米的正方形花岗石（接缝忽略不计），问标志性建筑的底面边长是多少米？

这是一道应用题，首要问题是老师如何引导学生读懂题意，知道题中涉及哪些量和它们的关系，然后設元（通过设底面的边长为x米）让学生用x的数式表示出阴影部分的面积。

通过交流，我们可以得到以下几种方法。

方法一：大正方形的面积减去小正方形的面积

=0.8×0.8×144

方法二：分割成四个梯形，求和

=0.8×0.8×144

方法三：如图分割成四个长方形，求和

4×3.2×=0.8×0.8×144

方法四：如图分割成四个长方形，求和

=0.8×0.8×144

虽然我们想到这么多的方法是一件不容易的事，但是有时选择一种较简单的方法更为重要。方法一：=0.8×0.8×144这条方程，对于七年级学生说是没有能力解的。对比之下，这四种方法中，方法三最容易理解，因此，课本中也就使用了这种方法来解题。由此可见，有时解决一个问题的方法有很多种，但选择一种合理的方法，才是上策。

以上，我用具体的例子来阐述解决一元一次方程的十大对策。尽管这些对策不能解决一元一次方程的全部问题。但是，学生掌握了这些思考方法和解题技巧后，不仅可以更加深刻地理解和领会数学知识的联系，而且也在不知不觉中提升了数学素养。

参考文献：

[1]孙武.《孙子兵法与三十六计》万卷出版公司2008-1-1.

[2]《温州市初一数学针对性训练》.