从“数量比”到“份数比”——“分数的再认识（一）”教学实录与赏析

◇执教/张 丹 赏析/麻永侃

一、回忆整数概念，引出分数

（一）以数4 为例，唤起数概念间的联系。

师：数学跟数有关。我先用“4”说一件事：（在黑板上摆4 个磁扣）我有4 个磁扣。谁能换一个角度，用“4”再说一件事？

生：有4 个物体。

师：换一个角度，“4”仅仅表示4 个物体吗？老师给你个提示：咱们的年龄之间也存在4。

生：4 倍，老师的年龄是我的4 倍。

……

（二）引出分数，用“讲故事。

（一名学生上台操作，将圆形纸片对折，再对折）

师：对折是为了什么？（生答“平均分成2份”）然后呢？（生答“再对折”）请把它的画出来。（学生把其中的1 份画上斜线）

【赏析】数是一种抽象的概念，要对数有丰富的理解，必须清楚理解各数之间的关系。如：4 比2 大但比5 小；4 是1 与3 的合成，也是2 和2 的和；1 只青蛙有4 条腿……要求学生能理解数及其表征方式，并且探索各类数之间的关系，如此渐渐变化，对数的直觉便在对整数、分数、小数及百分率等的认识中发展。在这节课上，张丹老师有意识地让学生在表示出圆的后，用“”讲一个生活中的故事，发散学生的思维，以丰富学生对分数的理解。

二、引导探究，推动从“数量比”到“份数比”的转化

（一）探究1：数量比——表示出4 个磁扣的。

1.给出任务。

师：我先给一个任务。（指黑板上的磁扣）这里有4 个磁扣，用它们可以表示出吗？在练习本上表示出来，用1 个小圆表示1 个磁扣，要让别人一眼就能看出你表示的。

2.学生尝试表征。

3.反馈交流。

师：谁愿意上来分享自己的想法？

生1 在黑板上画出4 个小圆。

生2 在生1 的图上改，如图1：

图1

师：她这么一画，我们很容易就看出来，确实一共有4 个，把它平均分成4 份，1 个就是全部的。

（二）探究2：份数比——表示出多个磁扣的。

1.给出任务。

师：学数学得想新的事儿，不能总等着老师告诉你接下来该干什么了。我们先表示出了1 个东西的，又想到用4 个磁扣也能表示出，接下来，你会想到什么事儿？

2.学生尝试表征。

3.反馈交流。

（教师出示作品1，如图2）

图2

师：不是8 个磁扣吗？为什么写一个“4 组”？为什么要分成4 组？的“4”表示什么？

（学生回答后，教师出示作品2，如图3）

图3

师：（指着图3 中1 份里的3 个磁扣）明明是3 个，怎么是？是谁的？

生：12 个磁扣，平均分成4 组，每组3 个，取其中的1 组就是。

师：总数中有4 个的、有8 个的、有12 个的……数学的事儿永远也说不完，磁扣永远也摆不完，谁能用一句话概括到底什么是？

师：能概括黑板上的所有东西吗？

生：其实也不一定都是4 的倍数。

【赏析】作品1、作品2 分别用表示，对三年级学生来说并不困难，他们可以用数量关系代替份数，用整数计数的思维帮助理解。到了五年级，要学会用份数表达，只要平均分成4 份，取1 份，至于这1 份中是1 个还是多个，并不重要。

（三）探究3：份数比——表示出“不是4 的倍数”的 。

1.给出任务。

2.学生尝试表征。（2 个磁扣用2 个圆表示）

3.反馈交流。

（生1 上台画出自己的作品，如图4）

图4

（师生配合，用圆片演示过程，如图5）

图5

生：能。

【赏析】通过前面的探究，学生好像对有了较好的理解。但从课堂的反馈看，学生对的理解存在一些有意思的想法，比如，他们觉得如果整体是2 个、5 个等，不能找到，理由是有余数。张老师以2 个圆为例，通过图形表征，让学生明白，只要平均分成4 份，取1 份，这1 份不论是多少，代表的都是，从而突破认知难点。

（引导同桌之间讨论： 到底把什么平均分成4 份，1 份就是）

生1：不管多少个物体，只要把它们平均分成4 份，然后中间有一部分明显表示出来的，就叫。

师：数学书上说的是：把“一个整体”平均分（将黑板上“4 的倍数”改为“一个整体”）。这个整体的数量可能是4 的倍数，也可能不是，只要把这个整体平均分成4 份，其中的1 份就是它的。现在我们对分数有了新的认识，今天这节课就是对分数进行再认识。

【赏析】学生对分数的理解不是一步到位的，而是逐步深入、螺旋上升的。张老师重视学生形成概念的整个过程，让学生在经历找整体是不同个数的的过程中，不断尝试概括什么是。在学生的新知与已有知识和经验的冲突中，不断修正，逐步形成概念，完善认识。

师：（指图6）你们看这幅图，它能不能代表你心目中所有东西的？

图6

1.学生想象。

2.学生操作。

3.反馈交流。

（4 个学生上台，将几幅图按以下方式操作后，进行对照比较）

图7

4.小结。

师：所以，不管是什么东西，只要平均分成4 份，1 份就表示这个东西的，你们同意吗？

【赏析】有调查发现，绝大多数学生均不能从“数量比”直接转化为“份数比”，但是如果能够将所给图形结构化一些，便会有一部分学生产生转化；如果结构化更加明显，如画分割线，大多数学生能够直接提炼出“份数比”。为了推动从“数量比”到“份数比”的转化，张老师从整体是4 个到多个再到2 个，让学生通过想象、画图表征等一系列活动，能够自主寻求并找出图形分割的共同点，从而对分数有进一步的认识。

三、再次引导探究，进行部分与整体的推算

师：到这儿，我们对分数已经有更多认识了，最后还有点时间，和大家做一个游戏。

（一）确定部分：如图8，阴影部分是多少？

图8

师：你心里随便想一个数，为了交流方便，这个数是整数。你想想，它的是多少？

生：6。

生：2。

生：18。

生：心中想的那个数大小不同。

师：大家心里想的那个表示整体的数不同，同意吗？

生：同意。

（二）推算整体：整体是多少？

生：是9，因为2 份是6，6 除以2 就是1 份的量，1 份再乘3，就是表示整体的数。

（三）理解分母、分子的含义。

生：平均分成3 份，取2 份。

（四）尝试概括什么是分数。

师：现在我们再改造改造，什么叫分数？

（师生共同得出： 把一个整体平均分成4 份也行，3 份也行，书上说的是若干份，这样的1 份或几份，我们就把它叫作分数）

【赏析】给出分数的图的模型，通过想阴影部分是多少，推算整体是多少，把对的理解（平均分成3 份，取2 份）与运算“□÷3×2”挂钩，将对分数的认识转化为一个运算的过程。 这样，心中只要有图，再去理解模型的含义，就能解决实际问题。

四、回顾全课，总结收获

（一）圈收获，说理由。

师：上到这儿，这节课基本上告一段落了，我们对分数又有了新的了解。 其实还存在好多问题，比如，有同学说5 个磁扣到底怎么回事？因为难度确实太大，我们以后再处理。

师：折腾了半天，我们要回想回想了，不然就白折腾了。这一大黑板结论都是我们共同努力的成果，你觉得哪个对自己的启发最大，你就上去圈哪个。大家圈的不一定一样，因为每个人的收获不一样。

生1：（圈了圆纸片）因为我之前没想到它。

（二）回首课始，联系对倍数的理解。

师：还记得课始时说老师的年龄是你的4倍吗？假设你11 岁，（板书：11）老师的年龄是44岁，（板书：44）谁能讲一个关于的故事？

【赏析】原来比较大小的时候可以来回说：我比你多2 个，你比我少2 个。到了倍数的时候，只说一个方面，即只说44 是11 的4 倍，学生会有困惑：倒过来说可以吗？张老师在这里适时将分数与倍数联系起来，让学生明白分数其实刻画的也是两个量之间的关系。

在这节“分数的再认识（一）”中，作为“分数意义”教学序列的第一节课，在课堂上，张老师通过想一想、画一画等手段，使学生认识到，“部分与整体的关系”不再只是数量上的比，还可以看作份数的比，帮助学生完成从“数量关系”到“份数关系”的转变。此外，这节课还强调在分数中部分与整体的互推，重视丰富对数概念的理解，注意发展学生对分数意义的深入理解。