高中解析几何的备考策略

王欣宁

[摘 要]解析几何是高中数学教学的重要内容，也是历年高考考查的重点内容之一，在高考中所占分值较大。如何提高解析几何的解题能力，在高三备考中值得深思。笔者根据自己在教学实践中遇到的问题，结合近年高考的命题情况，深入探究解析几何高考备考策略。

[关键词]高考;解析几何;思想方法;备考策略

解决考生在解析几何的困惑，成为我校提高数学成绩的突破口。要制定合适高考备考方案，必须弄清解析几何教学存在问题，研究高考命题动向。

一、解析几何教学中存在的问题

（一）学生存在的问题

在解析几何的教学中，学生对圆锥曲线的基本概念、性质不够重视，从而不能将知识有效地运用到解题中去;解题时不理解问题形成机理，只是生搬硬套教师的方法，不能根据题目特点优选方法;平时不愿花时间运算上，运算能力差，考试时知道算法，也不能在预定时间算出结果。

（二）教学中存在的问题

在复习备考中，教师的态度与观念引领着学生复习应考的方向。有的教师把侧重点放在“三角函数”“概率统计”“立体几何”，把解析几何归为难学难搞的一类，认为自己的学生是不可能做好它的。因此，教师在复习解析几何时，投入的精力与时间都会有所保留。在这样的指导思想下，教师对解析几何的研究是欠缺的，并人为地给学生制造出解析几何“难”的印象，学生对解析几何自然会轻视、消极与害怕，做解析几何的积极性不高。我们发现有些教师在复习解析几何时用时明显不足，且草草收场。有的教师很重视解析几何，恨不得把所有题目都讲完，但课堂上没有做到精选例题习题，实施满堂灌，给学生思考消化的时间不够，没能理解其中的奥妙之处，解题只能生搬硬套;课堂没有给学生演算时间，讲解时很多学生被动接受，不得其法。

这些问题严重阻碍着学生在解析几何上的发展，也学生对解析几何有恐惧感的原因。

二、解析几何高考命题动向

（一）题型结构稳定，模型主调清晰

近五年全国课标卷I中对解析几何的考查，均是2个客观题和1个解答题，分值22分，解答题都是固定在20题，说明题型结构十分稳定。从近五年的考点分布来看，直线单独考查概率小，理科与向量交汇概率大;客观题以双曲线、椭圆、抛物线为主;文科解答题以圆与椭圆为主，理科解答题以椭圆与抛物线为主，符合考纲中关于圆锥曲线的考查要求。

（二）立足基本性质，热点问题频现

曲线的方程与几何性质，是解析几何考查时的重中之重。 由方程得几何性质，由几何性质求方程，或者运用几何性质直接解决问题，是解题的必经之路。

从近五年的考点分布表看出，每年均涉及一些经典的热点问题，如直线与圆锥曲线位置关系中弦长、中点、轨迹、方程组与韦达定理或判别式、圆锥曲线中的三角形面积，定值、最值、定点等。

三、备考策略与建议

针对教学存在问题，依据高考命题趋势，我们对高三的备考提出以下策略和建议。

（一）转变师生的认识观念，合理定位，消除惧怕心理

在“信心比黄金还重要”的年代，首先教师要给自己信心，学生也要给自己信心。一线教师备考时首先要转变解析几何是难题，学生没办法拿分这种错误的观念，把解析几何合理定位到与三角函数、概率统计、立体几何等同的位置上来，加强对解析几何试题的深入研究，特别是要研究新课程改革以来的全国Ⅰ卷命题特点與方向，找到规律，认真备考，让考生高考时做题有更多的选择空间，并帮助学生消除对解析几何题的恐惧感，让学生能放心大胆去尝试接触解析几何题。

（二）突出概念的形成过程，强化概念应用意识

概念的形成是一个完整的数学化过程，有特例分析，也有抽象概括，有合情推理，也有演绎推理，有直觉思维，也有理性思维，有符号化的过程，也有实际意义的解释，要经历观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、类比、联系、归纳等一系列的思维活动，蕴含着丰富的数学思想方法和数学思维方法。因此，高三复习中的概念复习课，要重新让学生经历一次完整的数学化过程，从中学习数学表达、体验数学和领悟数学。如果学生能在高三复习中，把高中数学课程中的核心概念的形成过程都完整地经历一次，并且能在教师的引导下，不断地体验、领悟，这对学生认识数学会产生什么影响？学生通过高一高二的学习，积累了大量的素材和经验，有了自己的一些对数学的看法，但倘若教师不对学生的积累进行提炼和去粗取精，一些错误的认识得不到纠正，那么学生对数学的认识始终会停留在意识的浅层上，存在许多不确定性的内容，学生的经验系统将得不到优化，这对解题能力的提高必会造成巨大的障碍和危害。

同时，在圆锥曲线概念中，包含有丰富的内容。

（1）语义的理解：文字表达。

（2）符号的理解：椭圆|MF1|MF2|=2a>|F1|F2|=2c双曲线|MF1|-|FM2|=2a<|F1F2|=2c与|MF2|-|MF1|=2a<|F1F2|=2c的区别，以及||MF1|-|MF2||=2a<|F1F2|=2c

抛物线|MF|=d，d表示动点到直线的距离。

（3）图形：椭圆与双曲线——曲线上的动点与焦点构成的三角形。

抛物线：准线、抛物线上动点到准线的垂线段与到焦点的距离、对称轴构成一个直角梯形。

（4）如何建系求标准方程：如何得到最简方程的思考

（5）标准方程形式的最终表达形式，如椭圆通过令b2=a2-c2将标准方程表示为，形式简洁漂亮且使用方便。

（6）抛物线的定义中蕴含着重要的转化思想：到焦点的距离通常会转化为到准线的距离，从而使问题变得更加直观。

在复习备考中要精心设计相应的概念运用的习题，让学生的思维得到强化训练。如类似下面的习题是必要的。

（1）已知△ABC的一边BC长为8，周长为20，则顶点A的轨迹是（    ）

A 椭圆 B 椭圆，除去两个点 C 抛物线 D 椭圆的上半部分

（2）椭圆的焦点为F1F2，点P在椭圆上.且PF1PF2①求△PF1F2的面积;②求△PF1F2外接圆方程.

（3）点A的坐标为（3，1），若P是抛物线y2=4x上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6

（三）注重基本题型，强化学生的运算能力

从对近几年的全国高考数学卷的分析来看，“两小一大”的格局非常稳定，客观题（选择题和填空题）的计算量往往较少，重点考查学生对解析几何相关概念及性质的掌握程度，且注重通性通法，减少与其他知识模块交汇的试题;解答题以常规题为主，一般处在第20题的位置，往往是把关题，采取递进设问方式，第一步往往是求曲线方程，较为简单;后面则很可能设定定点问题、定值问题、最值问题、参数范围等问题，有一定难度. 因此，解析几何复习时，知识、方法、题型三方面可以如下尝试。

（1）第一轮复习应以小题与中档解答题为主，确保知识的全覆盖，灵活选用代入检验、筛选排除等方法，掌握解析几何小题的解题技巧，避免“小题大做”。这些小题以中等难度为主，主要考查方程的求解和简单几何性质的应用，每年常为一选择一填空，是多数学生可以得分的部分。

（2）第二轮复习采用题组的形式，对定点问题、定值问题、最值问题、参数范围等问题进行针对性强化训练. 让学生会一题，懂一类，举一反三，触类旁通。解析几何大题一般的解题模式是“由方程画曲线—结合图形审题破题—相对繁杂的数式运算—求得结果”，过好画图的基础关，突破运算关是解析几何大题的得分关键。

突破运算难点是解几题是否顺利解答的关键。可以从以下几个方面进行针对性训练：其一，用足圆锥曲线的定义求方程。 此处所提“用足”包含两层含义——用定义列方程可避免繁杂的计算量，用定义可排除不符合条件的点;其二，利用简单的平面几何知识进行合理转化。比如，已知从某动点看两已知点的视角为钝角，可联想到动点在以两已知点为直径端点的圆内，转化为圆的问题，计算量大减;其三，精选常考题型，给足时间放手让学生独立计算，进行计算专题指导。

四、强化作图能力，突出数形结合思想的运用

近几年的全国Ⅰ卷中，解析几何题一律没有配图，这就要求教师在平时的教学中要帮助学生建立作图用图的意识，强调学生养成读题画图的习惯。因为画图是解题的第一关，准确画出图形有利于学生理解问题形成的过程，使数和形有机结合起来，从而突破难点，解决问题。很多时候我们会发现：作图的过程其实就是解题的思路。为了强化作图能力，突出数形结合思想的运用，笔者建议从三个方面做好这项工作：其一，从选题上就要适应高考的要求，尽量不配图，特别要用好近几年的高考题，对其进行变式研究，精讲;其二，课堂上要舍得花时间给学生读题作图，最好能让学生在黑板上板演并点评或由教师与学生一起读题作图解题，使学生能潜移默化的养成读题作图分析的好习惯;其三，用好教材中的例习题，并进行变式研究;对一些经典的传统试题或习题进行改编，使学生感受到数形结合的便利。

五、挖掘教材，设置开放性的探究问题，重视探究能力的培养

探究能力是学生研究能力的体现，是新课标的一个重要的能力要求。把探究能力当做一种习惯去培养，这不仅是解析几何才有这种要求的，而是要在整个高三备考中坚持做这项工作，一旦学生的探究能力得到强化，学生的学习和解决问题的能力会有质的飞跃。在人教A版《选修2-1》中有许多探究的素材，教师要充分挖掘，设置一些开放性的问题，培养学生的探究能力。那么，為什么要强调从教材中选素材呢？原因有三：其一，不要把探究能力当作是什么很神秘的东西，从学生熟悉的情境设置问题，是学生愿意接受和容易理解的;其二，探究能力要当作一种习惯去培养，通过教材的再次挖掘，让学生回到高一高二的学习中去思考自己的学习习惯，促其有改变和自我调整的意愿;其三，高考本身是离不开教材的，高三备考同样也不能丢掉教材，要改变现在许多教师用一本教辅资料搞完整个高三的做法，让教师重视教材研究。

例：已知点A（-5，0），B（5，0），直线l1过点A，直线l2过点B，若l1.l2的斜率之积为，求l1、l2的交点P的轨迹方程。

探究1：分析结论与题设的关系，你有什么发现？并证明你的结论。

学生容易发现，结论点P的轨迹是椭圆（X≠±2），题设中的A，B恰好是椭圆的长轴端点，常数。推广到一般有：椭圆的两个长轴端点分别为A1A2，点P是椭圆上异于A1A2的动点，则。

探究2：将题中的常数改为，结论有什么变化？为什么？

探究3：将题中的点A（-5，0），B（5，0）改为点A（0，-5），B（0，5），结论又有什么变化？为什么？由此请同学们完善你的研究结论，并给出证明。

教材中还有不少类似的问题，教师应该在高三复习时充分挖掘教材素材，带领学生进行探究活动，培养学生的探究习惯与提高学生的探究能力。同时，纠正部分教师的错误认识：认为探究活动只应该在高一高二进行。

六、解题策略多指导，难题也是能得分

解析几何试题的难度还在于较高的综合性，如此内容常与平面向量综合，利用平面向量列出关系式;与不等式综合，利用基本不等式求最值;还与解方程、函数、解三角形等综合，平时要有所涉及，让学生具备相关内容的方法与技能。策略上要告诉学生学会分步得分，部分得分。对于不能评讲的部分，可将详细的答案及评分标准印给学生，不同层次的学生各取所需，各自取得最大限度的发展。

总之，要提高学生在解析几何的解题能力，教师必须根据考试必须根据解析几何试题题型特点，根据学生在学习过程中出现的问题，研究制订策略，在学生全面掌握解析几何基础知识、基本题型的同时，总结近年高考试题特点、相关解题方法，培养学生解题能力，提升教学效果。

参考文献：

[1]金东平.高中解析几何概念教学策略研究[D].金华：浙江师范大学，2013.

[2]娄树庆，曹洪艳.浅谈高中解析几何教学[J].生活教育， 2015（10）：38-39.

[3]李丽花.关于解析几何教学的一点思考[J].科技信息， 2011（35）：763.□