超声法测量高浓度悬浮液中颗粒粒径数学模型的实验验证研究

程梦君，蒋宏辉，李 青，吴太权，于明州

(中国计量大学 机电工程学院，浙江 杭州 310018)

颗粒测量技术在现代化工业生产、国防建设和高科技领域中的地位越来越重要，并广泛应用于医药、化工、冶金、电子、机械、轻工、建筑、环保等行业。因此，对于固液两相流中的颗粒粒度测量也获得了更多关注。在能源领域，水煤浆中煤的粒径分布对水煤浆的流变性、稳定性以及燃烧效率影响很大[1]；在涂料领域，颜料粒度决定其着色能力，添加剂的颗粒大小决定了成膜强度和耐磨性能[2]；在催化剂领域，催化剂的粒度、分布也部分地决定其催化活性[3]。目前常用的测粒方法有筛分法、显微镜法、沉降法、光散射法等。这些方法各具特点，但是对于高浓度细颗粒的悬浮液条件下，直接接触法不可避免带来人为误差，测量过程也较为繁琐。超声法测量具有对介质高穿透能力、非接触式、易实现在线监测、适应恶劣环境、无污染等特点，适合固液两相流中的颗粒粒度测量，具有广泛的应用前景、科研价值和实用价值[4]。

声波在悬浮液中传播，需要考虑连续相和分散相的密度差异、可压缩性、黏惯性力和悬浮液固有吸收等因素造成的衰减，研究者通过各种声衰减的理论方法来模拟这些因素与复波数之间的关系。现阶段最为成熟的是声散射理论，适用于任意高频率声波。国外，Epstein与Carhart[5]、Allegra等[6]提出的ECAH模型第一次从理论上较为全面的考虑黏性、热、散射以及内部吸收机制，并获得了切实可行的求解，在两相流中超声衰减机理的研究工作中具有里程碑式的意义。尽管ECAH模型已经构建了超声波颗粒测试的理论框架，但其缺点仍较明显，已有许多的实验结果可以证明，该单散射模型仅仅适用于稀释球形颗粒体系，然而在超声法悬浮液测粒技术中，能够测量高浓度颗粒悬浮液是十分重要的研究要点。对于高浓度悬浮液中的颗粒测量，Haker和Temple提出的耦合相模型[7]，有良好的自洽性，适用于较高浓度悬浮液声衰减预测；Hemar等人提出的核-壳模型、细胞球模型、镜像模型[8]，用于分析浓缩乳剂中热弹性效应造成的影响与声衰减的关系；近年来，Hipp等学者发展了核-壳模型[9-10]，McClements将核-壳模型成功应用到乳剂的声衰减系数预测[11-12]。国内，蔡小舒、苏明旭、王学重等学者，对于超声法测颗粒粒径技术，在理论模型、测量方式、分析方法、应用领域等方面，进行了可靠的实验研究与创新[13-15]。在测量高浓度浆料的过程中发现，随着浆料浓度升高，颗粒间相互作用、复散射效应带来的影响变得更加明显[16]。对于高浓度、混合粒径悬浮液的实时高速在线测量，选择合适的理论模型和发展新的测量方法是十分必要的，尤其是对于非乳剂悬浮液的颗粒测量技术，十分需要一个能准确分析声衰减情况的理论模型。

本文将核-壳模型用于二氧化硅颗粒悬浮液声衰减预测，与耦合相模型声衰减预测值、实验值相比较，分析核-壳模型预测在固液两相介质密度差异较大的悬浮液中的声衰减情况。本研究目的，通过实验验证方法，确定用以悬浮液颗粒粒径测量的合理模型。

1 理论模型

1.1 耦合相模型

Harker和Temple考虑了流体黏度、颗粒与流体之间密度和弹性模量的差异和浓度的影响,推导了超声相速度和衰减公式，提出对于粒子与连续相压缩波速或密度有较大差异的悬浮液的耦合相模型，简称H&T模型[7]。

在此不作公式推导，仅给出影响声衰减因素与复波数的关系式：

(1)

式(1)中：

(2)

(3)

ηeff=η(1+2.5φ+7.349φ2+…)。

(4)

由于S的存在，这个波数解是个复数，衰减系数和声速同复波数的关系为：α=Im，c=Re(ω/k)，体积分数φ=颗粒体积/溶液体积。

其中：ω为角频率，Hz；a为颗粒半径，m；ρ为密度，Kg·m-3；η为流体黏度，Pa·s；ηeff为有效黏度，Pa·s；β为等温压缩系数；σ为黏性波长，m；下标1-表示连续相，下标2-表示分散相。

Evans考虑了颗粒相间的传热和粒子的可压缩性，推导出不可逆转热系数ST，发展了H&T模型[18]。

(5)

(6)

1.3.1 学生意见反馈。制作学生意见反馈调查表，对两组教学效果问卷调查，包括：课堂情况、知识运用情况、能力培养情况3大方面进行评分，最低0分，最高10分。

(7)

式(7)中，xυa=φ1x1+(1-φ1)x2,ρb=(ρ-1)υa，ρ∞=(γ/p)υa。

其中：γ为比热比；φ1为连续相体积分数；C为定容比热，J·kg-1·K-1；Cp为定压比热，J·kg-1·K-1；βT为体积热膨胀系数；κ为绝热压缩系数，m·s2·kg-1。

1.2 核-壳模型

为了弥补ECAH模型仅适用于稀悬浮液声衰减预测局限，Hipp等人发展了Hemar[8]的核-壳模型[9-10]，将其应用于高浓度乳剂和悬浮液的声衰减预测，该模型考虑热重叠效应，但忽略了多次散射、本征吸收和黏惯性效应。在高浓度悬浮液中，多次散射引起的声衰减是无法忽视的。由于分散相在超声场作用下会产生热重叠效应，现有的多重散射理论无法准确地预测出高浓度悬浮液的声衰减。Mcclements将Waterman和Truell的多重散射理论同核-壳模型结合[19]，克服了核-壳模型没有考虑多重散射的局限的同时，亦将热重叠效应考虑进多重散射理论中，衍生了一个可以应用于高浓度悬浮液声衰减预测的理论模型[11]。

(8)

式(8)中，A0、A1单个颗粒的单级和偶极散射系数：

(9)

(10)

未知参数由下列表达式求出：

(11)

(12)

C=en1(b-a)[τ1(n1b-1)+τ3(n3b+1)],

D=e-n1(b-a)[τ1(n1b+1)-τ3(n3b+1)],

(13)

E=τ2n2a+[τ1(n1a+1)-τ2]tanh(n2a),

F=τ2n2a-[τ1(n1a-1)+τ2]tanh(n2a),

式(13)中：σ为黏性波长，m；τ为导热系数，W·m-1·K-1。

1.3 耦合相模型和核-壳模型的比较

核-壳模型分析不可逆转热，黏惯性力，多重散射和热相互作用造成的声衰减，假设颗粒的细胞边界上有有效介质，体现出与体积分数的相关性，从微观上分析出溶液的声衰减变化；耦合相模型以流体力学为基础，假设颗粒和连续相是一个整体，分析不可逆转热和黏惯性力造成的声衰减，从宏观上分析溶液的声衰减。在实际测量中，由于耦合相模型假设颗粒为连续相，因此波长必须大于颗粒的大小，核-壳模型假设颗粒周围的压力分布是均匀的，也需要类似的约束条件。从理论上讲，测量条件需满足长波长(λ≫20a,λ为声波波长)条件时，耦合相模型和核-壳模型都适用于所有体积分数的悬浮液。

图1是颗粒粒径为28，悬浮液体积分数为0.05、0.10、0.15、0.20、0.25时，两种模型声衰减系数预测值随声波频率的变化。从图中可以看出体积分数为0.05和0.10的二氧化硅悬浮液随着声波频率增高，核-壳模型只能给出部分声衰减预测值。这是由于较低浓度情况下，颗粒间相互作用不明显，复散射造成的声衰减值较小，随着频率升高，波长变短，因此不能给出完整的声衰减预测值。可知在一定粒径条件下，溶液体积分数同声衰减系数的相关性，更加直观的体现分析浓度不同的悬浮液，应当采用相应的数学模型，提升测量结果准确度。核-壳模型在较高体积分数段声衰减预测良好，相较于低浓度悬浮液更适用于高浓度悬浮液的声衰减系数分析。耦合相模型虽然有“长波长”约束条件，但是由于该模型有较好的自洽性，对于微米级颗粒在中低频段能够很好的预测声衰减情况。

图2是超声频率为5 MHz，颗粒粒径分别为5 μm、10 μm、20 μm、30 μm时，两种模型声衰减系数预测值随悬浮液体积分数的变化。从图中可以看出，悬浮液体积分数在0.25以下时，两个模型声衰减预测值十分吻合，随着浓度增加，耦合相模型的声衰减预测值明显大于核-壳模型的声衰减预测值。这一点也体现在不同颗粒粒径，声衰减预测值之间的预测差异也不同，颗粒越小，模型预测值差异越大。造成这个情况的原因是，核-壳模型是从微观角度分析，以散射造成的声衰减为主，颗粒大小对声衰减预测的影响较为明显；耦合相模型是从宏观角度出发，固液两项密度差异对声衰减预测的影响较大。

图1 不同体积分数SiO2悬浮液随频率变化的超声衰减谱预测值Figure 1 Prediction of ultrasonic attenuation spectra

图2 不同粒径SiO2悬浮液随体积分数变化的超声衰减谱预测值Figure 2 Prediction of ultrasonic attenuation spectra of different particle size SiO2 suspensions

2 实验平台和结果分析

2.1 实验平台

为了验证上述理论模型，实验采用离线分析方法，通过反射式脉冲回波法采集超声回波信号。实验平台包括四部分：信号发生器部分(A)，超声换能器部分(B)，样品测量区部分(C)，数据采集部分(D)。本文实验平台由超声脉冲发射接收器(JSR，DPR 300，采样率50 MS/s)、超声换能器(OLYMPUS，V310-SU 5 MHz)、恒温水槽、示波器(RIGOL,DS1052E)组成，如图3。

图3 超声波测量系统示意图Figure 3 Schematic diagram of ultrasonic measurement system

2.2 实验测量

实验样品采用球形二氧化硅颗粒(表1)，颗粒粒径为5 μm、10 μm、20 μm、30 μm、60 μm，实验采用纯净水(娃哈哈)和平均粒径为28 μm的二氧化硅颗粒配置体积分数为0.01至0.30的二氧化硅悬浮液。为避免温度影响，采用恒温水浴方式，保持测量时溶液温度为25 ℃。实验通过改变声程的方式采集回波信号幅值，以及两次回波的时间间隔。多次回波信号如图4(a)，通过PC端控制示波器，将采集的回波信号放大一定倍数以获取准确回波幅值，如图4(b)。

表1 实验材料物性参数表Table 1 Physical properties of experimental materials

图4 实验采集回波信号示意图Figure 4 Schematic diagram of experimental acquisition echo signal

实验数据处理采用离线处理方法，将采集的数据通过MATLAB进行处理，求取声衰减系数。声衰减计算公式：

(14)

式(14)中，B1、B2是距离L1、L2处的回波幅值。

2.3 结果分析

为了描述理论模型声衰减谱预测值和实际测量的衰减谱的差异，定义误差函数[17]：

(15)

图5 不同体积分数SiO2悬浮液的回波幅值Figure 5 Echo amplitude of different volume fraction SiO2 suspension

式(15)中，N为测量次数；αmeasured为声衰减实验值，dB/m；αpredicted为声衰减预测值，Np/m。

实验采集二氧化硅悬浮液回波幅值随着体积分数变化的关系如图5(a)(b)，随着悬浮液体积分数增加，回波幅值逐渐减小。数据分析时发现，一次回波幅值更适用于描述声波的声衰减，此后实验采集回波幅值都为一次回波幅值。实验表明，采用中心频率为5 MHz的换能器，当二氧化硅悬浮液体积分数达到40%时，一次回波幅值接近于零。因此，本文实验只分析了体积分数30%以内的声衰减情况。

图6 实验值与核-壳模型和耦合相模型的预测值比较Figure 6 Comparison of experimental values with predicted values of core-shell model and coupling phase model

图6(a)是超声波频率为5 MHz，体积分数为0.05，实验温度为25 ℃时，声衰减系数随粒径的变化。核-壳模型和耦合相模型在低浓度条件下，随颗粒粒径变化声衰减预测值差距非常小，并且在该浓度条件下同实验值进行了对比。从图可知，两种模型的声衰减预测值与实验值吻合的很好，体现了两种模型声衰减预测值的可靠性。

图6(b)是超声频率在5 MHz，颗粒粒径为28，实验温度为25 ℃时，两种模型声衰减系数预测值随悬浮液体积分数的变化。从两种模型的声衰减预测值可以看出，声衰减系数随着二氧化硅悬浮液体积分数增大而增加。体积分数在0.45以内时，两个模型声衰减预测值误差较小，误差值为0.063 0,实验值和核壳模型声衰减预测值误差0.191 1，和耦合相模型声衰减预测值误差=0.092 3。在较高浓度条件下，耦合相模型的声衰减预测值同实验值更为接近。对于图中在悬浮液体积分数低于0.05时，预测值与实验值的较大差异，由实验器材对低浓度变化灵敏度较低导致。因而在误差计算中，忽略体积分数低于0.05时测得的实验值。由于实验条件限制，体积分数高于40%部分声衰减情况实验未能进行验证。体积分数在0.45以后时，耦合相模型声衰减预测值呈下降趋势，核-壳模型声衰减预测值持续递增，两个模型的差异逐渐增大。造成这一差异的原因可能是在高浓度条件下，核-壳模型考虑了热相互作用对声衰减系数的影响，耦合相模型没有考虑热相互作用，因此核-壳模型的声衰减预测值递增。但对于二氧化硅颗粒在高浓度(体积分数>0.40)悬浮液中的声衰减趋势，暂时还未有学者提供相应的实验数据,因此还不能确切分析出造成两种模型声衰减趋势不同的具体原因。将实验数据与两种模型的预测结果进行了比较，在较高浓度下两种模型的预测值与实验值十分接近。

3 总 结

本文采用核-壳模型和耦合相模型两种方法，开展了对刚性粒子高浓度悬浮液进行声衰减预测的研究。分析两种模型在同一条件下，声衰减预测值随不同频率、不同体积分数、不同颗粒粒径的变化。将仿真得到的结果同实验得到的数据相比较，验证了在一定频率下，两种模型在悬浮液较高浓度(体积分数低于0.40)时的声衰减预测值与实验值一致性良好。对于高浓度时，两个模型预测值差异较大情况，可以推测存在可优化的物性参数，如分析高浓度条件下有效黏度对声衰减预测的影响，也是一个值得探讨的方向。