基于模态追踪的地铁车辆低频横向晃动分析

陈迪来,沈 钢,宗聪聪

(同济大学 铁道与城市轨道交通研究院， 上海 201804)

当前，某型高速列车和部分地铁车辆容易出现车体横向晃动，而这种横向低频晃动可能恶化车体横向平稳性指标，影响旅客乘坐的舒适性[1-2]。产生轨道车辆车体低频晃动的原因很多，但最根本的还是车体与转向架之间的耦合振动[3]。转向架蛇行运动频率往往跟车辆的运行速度直接相关，其频率随着列车运动速度的提高而增大。然而，车体的下心滚摆、上心滚摆、摇头等横向运动的自振频率不随车辆运行速度的变化而变化，且自振频率较低，可能导致转向架与车体发生共振[4]。

目前，大多数学者对转向架蛇行进行了详细研究，但是对于车体横向低频晃动研究较少。Huang等[5]建立反映车体和转向架相互耦合关系的车辆系统多刚体动力学模型，分析车体蛇行的关键影响参数，借用线性分析方法，分析敏感参数对高速车辆横向异常晃动的规律。Iwnicki[6]指出当等效锥度较低时，容易出现车体不稳定的蛇行运动；当等效锥度较大时，容易出现转向架蛇行振动。Jönsson等[7]指出车体蛇行运动在运行速度较低时，由车体固有的几种模态共振引起，如车体的摇头、对称低频摆动、非对称低频摆动。刘继领[8]采用多体系统动力学仿真计算方法，研究CRH1E型动车组车体严重晃动的原因，并提出相对应的衰减横向晃动的解决方案。李然等[9]利用多体动力学软件仿真分析在不同摩擦系数、等效锥度等工况下，车体横向振动的加速度以及横向平稳性，发现当等效锥度和摩擦系数均处于较小值时，容易出现车体的横向晃动。王开云等[10]仿真分析了某型机车在实际线路上出现的横向异常振动现象，为消除机车的异常晃动现象，提出两种参数优化方案，经试验验证，优化后机车的横向晃动消失。叶一鸣等[11]针对机车异常晃动现象进行了研究，发现轨道状态的不良容易引起车体异常振动，并针对这个现象提出了一些预防措施。

车辆刚体模态能清楚表达出车辆系统各自由度振动的频率和振动的衰减程度，但从车辆刚体模态的角度对车体横向低频晃动的研究还很少。本文基于欧式贴近度对铁道车辆刚体模态进行模态追踪，得到刚体模态的频率和阻尼比随着运行速度变化的规律，分析了某地铁车辆车体横向低频晃动的原因。在欧式贴近度的基础上，提出模态间的耦合度这个概念，以减少耦合度和消除横向低频晃动为设计目标，对车辆系统的悬挂参数进行了优化。

1 模态追踪

1.1 欧式贴近度

为了在某模糊集合中，找出同一类型的子集，需对整个集合中的每个子集进行相似性分析，相似性越大，则属于同一类集合，差异性越大，则不属于同一类。常见的相似性分析方法是欧式距离，欧式距离越小，说明相似度越高；反之，欧式距离越大，说明差异性越大。E和F为两个模糊集合，则欧式距离为[12-13]

(1)

式中：r为集合的基数；E={e1,e2,…,er}，ep∈E，ep≥0；F={f1,f2,…,fr}，fp∈F，fp≥0。

为了更好度量欧式距离，将计算数据进行预处理(归一化处理)，即

(2)

为更好度量两集合的贴近程度，计算两集合间的欧式贴近度

(3)

式中:N(E,F)为欧式贴近度。从式(3)中可以看出，N(E,F)越大，集合E、F越接近，N(E,F)越小，说明集合E、F差异性越大。

1.2 车辆系统的特征值及特征向量

某地铁车辆自由振动的线性化方程为[14]

(4)

式中：M、C、K分别为车辆系统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵；Cwr、Kwr均为与轮轨接触参数有关的矩阵；q为n阶(n个自由度)广义位移向量；v为车辆运行的速度。

假设

(5)

将式(5)代入式(4)，可将其转化为

(6)

式中：A为这个车辆系统的特征矩阵。

对特征矩阵A进行QR分解，得到系统的特征值λ和特征向量γ

q=γeλt

(7)

将式(5)、式(7)代入到式(6)中，可以得到

(A-λI)γ=0

(8)

式(8)有非零解的条件是

|A-λI|=0

(9)

由式(9)所得到的解λ就是系统矩阵A的特征值，分别为λ1,λ2,λ3,…,λ2n，特征值λ的普通形式是一对共轭复数，当特征值共轭时，取一个即可。则特征值λj(j=1,2,…,n)对应的特征向量γ也有2n个，分别为：γ1,γ2,…,γ2n，特征向量也是复特征矢量，取一个即可。计算得到车辆系统的特征值和特征向量之后，去掉特征值虚部为0的数据，得到m个n维共轭复数特征向量Xi，记为

(10)

对特征向量的幅值进行数据预处理，设

(11)

(12)

式中：xik为复数；|xik|为复数xik的模；Xi为复数矩阵；|Xi|为复数矩阵Xi的模。

不考虑相位角的超前或滞后，对特征向量Xi的相位角进行数据预处理

φik=θik-max(θik)

(13)

即系统所有模态相位角ψi=[|φi1| |φi2| … |φin|]T。

式中:θik为相位角；φin为复数，|φin|为复数φin的模。

表1为速度为V1工况下车辆各模态的特征向量。

表1 速度为V1时特征向量

1.3 车辆系统的模态追踪

根据欧式贴近度，计算不同速度下各刚体模态的相似程度[15]

j=1,2,…,mi≠j

(14)

式中：NYij为两个模态振幅的欧式贴近度；aik为第i个模态的第k个自由度的幅值；ajk为第j个模态的第k个自由度的幅值；α为振幅的权重。

(15)

式中：Nψ ij为两个模态相位角的欧式贴近度；φik为第i个模态的第k个自由度的相位角；φjk为第j个模态的第k个自由度的相位角；β为相位角的权重。

Nij=ω×NYij+(1-ω)Nψ iji≠j

(16)

式中：Nij为两个模态综合欧式贴近度；ω为振幅在综合欧式贴近度中所占的比例。

第j列中的第i个数值Nij最大，就说明：参数V1的第i个模态与参数V2的第j个模态最相似。根据欧式贴近度概念，参数V1的第i个模态与参数V2的第j个模态属于同一类模态。

2 车体横向晃动分析

2.1 车辆系统模型

为了研究车体横向低频晃动情况，建立整车多刚体线性化模型，见表2，模型共23个自由度。车辆参数见表3，假定轮对与钢轨不分离、悬挂元件的特性参数均线性，将蠕滑系数视为常数[3]，将车辆系统的轮轨接触几何关系线性化处理。

表2 模型的自由度

2.2 车体横向低频晃车原因分析

利用MATLAB软件根据欧式贴近度对23自由度车辆的刚体模态进行了追踪，仿真速度从2 km/h依次递增至120 km/h，速度步长不宜过大，否则将导致识别不准确。转向架蛇行运动、车体上心滚摆和车体摇头这三种模态对车辆横向振动影响较大，因此主要针对这三种模态进行分析[4]。

对等效锥度为0.1、0.2、0.3三种工况分别进行仿真分析，结果见图1。转向架蛇行运动频率与车辆运行速度有关，且呈线性增大，但是车体上心滚摆频率和摇头频率基本不随速度的变化而变化。可见利用模糊数学的模态追踪方法能实现对刚体模态的自动识别和归类。在某一个速度段内，转向架蛇行运动的频率(同相或者反相)可能和车体固有的上心滚摆或摇头振动频率相接近，此时，这两个模态的欧式贴近度接近于1，即转向架蛇行运动与车体横向运动的振动形式极为相似，导致两种振动发生共振，引起车体的横向振动加剧。此时，车体上心滚摆的阻尼较小，车体横向出现低频晃动现象。从图1中还可以看出，车体固有的上心滚摆的阻尼比随着速度增大先增大后急剧下降，并且在与转向架蛇行运动频率(同相)相接近的速度区间时，阻尼比的数值下降到最小。阻尼比的剧烈下降，可能引起相应振型的不稳定，导致不稳定振动出现。如果转向架蛇行运动(同相)与车体上心滚摆、转向架蛇行运动(反相)与车体摇头运动分别发生共振的速度区间大致相同时，将进一步加剧车体在这个速度区间的横向晃动。从图1(a)、图1(b)中可以看出：转向架蛇行运动与车体上心滚摆和摇头发生耦合的速度区间为50～60 km/h，在此区间内，车体上心滚摆的阻尼比最低下降到13%左右，阻尼比越小，耗能越慢，说明此时车体的上心滚摆振型有可能导致不稳定振动。对比三种等效锥度下的频率和阻尼比曲线可以看出，虽然在不同的等效锥度下，发生共振的速度区间不同，但是发生共振的频率基本相同，约为0.85 Hz；随着等效锥度的增大，车体上心滚摆的阻尼比也逐渐增大，说明了等效锥度越小，车体越容易发生低频晃动。

由于铁道车辆存在特殊的轮轨关系，在不同运行速度下，车体的某些模态的振动特征可能发生变化。等效锥度为0.1，在不同运行速度下，车体上心滚摆和转向架蛇行(同相)运动模态的车辆系统23自由度振动的幅值见图2、图3。车体上心滚摆模态各自由度的振幅基本不随速度的变化而变化；但转向架蛇行(同相)模态各自由度的幅值在不同速度下差异较大。在运行速度为50 km/h时，车体上心滚摆模态各自由度的幅值与转向架蛇行(同相)模态各自由度的幅值相接近，说明此时两振型非常相似。结合图1分析得，在此速度下，车体上心滚摆的频率与转向架蛇行运动(同相)的频率相接近时，两个模态的振型非常相似，导致这两种振动发生耦合共振。此时，车体上心滚摆的阻尼比又较小，车体横向出现异常的低频振动。

图3 仿真速度为70 km/h的模态振幅

3 耦合度分析

3.1 耦合度定义

耦合是指多个振动相互影响，并且彼此相互作用的一种现象。车辆系统的耦合度是指车辆系统中多个振型间的耦合程度[16]

(17)

耦合度D越接近100，说明整个车辆系统各模态间耦合程度越大，发生共振的可能性也越大。

3.2 耦合度计算

从图4中可以看出，当等效锥度为0.1、速度为50～60 km/h时，耦合度的数值很大，这与图1中频率图得到的共振速度区间相同；其余等效锥度下，计算得到耦合度较大的速度区间与图1中共振的速度区间也相同。这说明利用耦合度能很好地描述共振区间，并且等效锥度越小，耦合度的数值越大，这与等效锥度越小时，越容易发生车体的低频晃动相吻合[3]。

图4 几种不同等效锥度下的耦合度

4 参数优化

本文根据耦合度的概念，以降低系统各模态之间的耦合度为优化目标，对车辆系统的悬挂参数进行了优化设计。

将初始车辆的抗侧滚扭杆由原来的1.5 MN/rad，减少到0.5 MN/rad，将二系垂向减振器阻尼由原来的40 kN/(m/s)增大到70 kN/(m/s)，将二系横向减振器阻尼由原来的58 kN/(m/s)增大到90 kN/(m/s)，其余参数不变。假设车轮的等效锥度为0.1，仿真速度为2～120 km/h，优化后仿真结果见图5。

图5 优化后的模态随速度变化曲线

从图1(a)和图5中可以看出，虽然在速度35 km/h左右时，转向架蛇行运动的频率与车体的上心滚摆和摇头频率相接近，但没有发生耦合现象，此时转向架蛇行(同相)运动模态和车体上心滚摆模态的欧式贴近度约为0.8。并且车体的上心滚摆的阻尼比并没有出现明显下降的过程，车体上心滚摆的阻尼比也由原来的25%上升到45%，车体摇头运动的阻尼比由原来的45%提升到80%，同时有效提高了车体横向振动的稳定性。因此，为消除车体横向晃动现象，可以增大车体横向振型的阻尼比。

优化前后的耦合度-速度曲线见图6，优化前后系统的最大耦合度分别为88.4、71.7，优化后系统的最大耦合度下降了18.9%。有效降低了系统耦合振动的可能。

图6 优化前后的耦合度

5 结论

(1) 基于欧式贴近度准则，能快速、准确计算出车辆系统在不同速度条件下各刚体模态的相似度，得到不同速度下各刚体模态的频率和阻尼比的变化规律。

(2) 在某速度区间，转向架蛇行运动(同相)的频率与车体固有的上心滚摆频率相接近时，此时两个模态的贴近度接近于1，说明这两个振型的振动形式极为相似。并且在此区间内，上心滚摆的阻尼比下降，阻尼比越小，系统的耗能越慢，易导致系统发生不稳定的振动。此时转向架蛇行(同相)引起的车体上心滚摆与车体固有的上心滚摆振动将发生共振。同理，转向架蛇行运动(反相)与车体摇头运动发生共振，可能导致车体横向晃动。

(3) 通过优化设计车辆的悬挂参数，使转向架蛇行运动与车体固有振型发生耦合的程度降低，增大车体横向振型的阻尼比，使车体横向振动的稳定性增强，从而消除车体的横向异常晃动现象。

(4) 利用耦合度为分析车体横向低频晃动问题提供可优化的目标函数，耦合度数值越大，说明车体系统发生耦合振动现象越严重，发生共振的可能越大。