函数的奇偶性高考题赏析

■田发胜

奇偶性是函数的重要性质之一，在研究函数有关问题时，有着举足轻重的作用。因此，函数的奇偶性在高考中成为命题的热点。下面以高考题为例，说明函数奇偶性的常见考查方式，并给予评析，帮助同学们更好地理解函数的奇偶性，运用函数的奇偶性解题。

一、判断函数的奇偶性

例1下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）。

解：记f（x）=x+ex，则f（1）=1+e，f（-1）=-1+e-1，可知f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），所以y=x+ex既不是奇函数也不是偶函数。依题意可知B，C，D依次是奇函数，偶函数，偶函数。故选A。

例2设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）。

A.f（x）g（x）是偶函数

B.|f（x）|g（x）是奇函数

C.f（x）|g（x）|是奇函数

D.|f（x）g（x）|是奇函数

解：设F（x）=f（x）|g（x）|，则F（-x）=f（-x）|g（-x）|。

由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，可得F（-x）=-f（x）·|g（x）|=-F（x），即F（x）为奇函数。应选C。

例3若函数为偶函数，则

解：由函数为偶函数，可得为奇函数，则满足

评析：判断函数f（x）的奇偶性，一般是利用定义，验证f（x）与f（-x）的关系，也可以利用特殊值加以验证。

二、利用函数的奇偶性求函数的值

例4已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x），满足f（x）+g（x）=axa-x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则

解：由f（2）+g（2）=a2-a-2+2，可得f（-2）+g（-2）=a-2-a2+2，再由函数的奇偶性可得-f（2）+g（2）=a-2-a2+2。由此解得g（2）=2，f（2）=a2-a-2，所以a=

评析：利用奇偶性求函数的值，不需要求出相应的解析式，而要抓住自变量是相反数时函数值的关系，灵活处理。

三、利用函数的奇偶性及单调性解不等式或比较大小

例5已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，f（2）=0，若f（x-1）＞0，则x的取值范围是

解：由f（x）是偶函数，且f（x-1）＞0，可得f（|x-1|）＞0=f（2）。由f（x）在[0，+∞）上单调递减，可得|x-1|＜2，解得-1＜x＜3。

评析：利用函数的奇偶性解不等式，一般是把不等式变为相应函数值的大小比较问题，再利用其单调性求解。特别地，若函数f（x）是偶函数，要注意应用性质f（x）=可简化运算。

例6已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=x f（x），若a=g（-log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（ ）。

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.b＜a＜cD.b＜c＜a

解：因为f（x）是奇函数且在R上是增函数，所以当x＞0时，f（x）＞0，从而g（x）=x f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数。由题意得a=g（-log25.1）=g（log25.1）。因为20.8＜2，4＜5.1＜8，所以2＜log25.1＜3，所以0＜20.8＜log25.1＜3。

故g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），即b＜a＜c。应选C。

评析：指数式、对数式的比较大小，要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图像，利用函数的单调性比较大小。需要注意的是灵活利用函数的奇偶性、单调性和数形结合方法是解答这类问题的关键。

四、利用函数的奇偶性解决图像问题

例7函数的图像大致为（ ）。

解：易知函数f（x）为奇函数，奇函数的图像关于坐标原点对称，A不适合题意。当x＞0时，f（x）＞0，从而排除D。当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C。应选B。

评析：给定函数的解析式，判断函数图像时，要充分利用函数的性质，运用排除法求解。

例8设函数的最大值为M，最小值为m，则

解：函数

所以M+m=[g（x）max+1]+[g（x）min+1]=g（x）max+g（x）min+2=2。

评析：本题利用常规方法是求不出函数的最值的，而利用奇函数的图像关于坐标原点对称，其最值也关于坐标原点对称，则可求出结果。

五、利用函数的奇偶性与周期性，解决函数的综合问题

例9已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）在[0，1]上为增函数”是 “f（x）在 [3，4]上为减函数”的（ ）。

A.既不充分也不必要的条件

B.充分而不必要的条件

C.必要而不充分的条件

D.充要条件

解：因为f（x）为偶函数，f（x）在[0，1]上是增函数，所以f（x）在[-1，0]上为减函数。又因为函数f（x）的周期是4，所以在区间[3，4]上也为减函数。由f（x）在区间[3，4]上为减函数，根据函数的周期性可知f（x）在[-1，0]上为减函数，由函数f（x）为偶函数，根据对称性可知f（x）在[0，1]上为增函数。综上可知，“f（x）在[0，1]上为增函数”是“f（x）在[3，4]上为减函数”的充要条件。应选D。

例10已知函数f（x）的定义域为R。当x＜0时，f（x）=x3-1;当-1≤x≤1时，则f（6）=（ ）。

A.-2 B.-1

C.0 D.2

解：因为当，所以当时，f（x）是周期为1的周期函数，所以f（6）=f（1）。由题设可知，当-1≤x≤1时，f（-x）=-f（x），所以f（1）=-f（-1）=-[（-1）3-1]=2。应选D。

评析：这类问题主要是利用函数的奇偶性和周期性，考查转化能力、推理论证能力。例9涉及充要条件知识，有兴趣的同学可以探究一下。