例说空间几何体的体积

■廖庆伟

求空间几何体的体积问题是现实生活中经常遇到的问题，解答这类问题需要观察生活中的几何体，仔细审题，弄清所求几何体的形状，从而利用相关知识求出该几何体的体积。

一、还原三视图求体积

图1

例1某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为

解：由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边长为2，高为的三角形;正视图的长为三棱柱的高，即三棱柱的高h=3。故该几何体的体积

评析：平时要观察生活中的几何体，提高自己的空间想象能力。画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高。

二、折叠平面图形求体积

图2

例2如图2所示，在边长为4的正方形纸片A B C D中，B D与A C相交于点O，剪去△A O B，将剩余部分沿O C，O D折叠，使O A，O B重合，则VO-A C D等于

解：折叠后的几何体为四面体A-O C D，即四面体O-A C D（图略）。折叠后O A，O C，O D两两相互垂直，且所以所求的体积

评析：由于正方形的对角线互相垂直，因此折叠后的垂直性仍不变。

三、切截后求体积

例3在棱长为2a的正方体A B C DA1B1C1D1中，截去一个三棱锥D1-A D C，则剩余部分的体积为

解：在正方体A B C D-A1B1C1D1中，棱长为2a，其体积VA B C D-A1B1C1D1=8a3。由题意可知D1D为三棱锥D1-A D C的高，所以故所求剩余部分的体积为

评析：对于不规则的几何体，可用割补法，将其转化为规则的几何体，再求体积。

四、求几何体的外接球的体积

例4正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则外接球的表面积为

图3

解：已知正四棱锥P-A B C D，如图3所示。

设外接球的半径为R。正四棱锥的底面中心为O′，球心为O。由题意可得P O′=4。

在正四棱锥P-A B C D中，由A B=2，可得在R t△A O O′中，由A O2=，可得，解得故所求外接球的表面积为4 πR2

评析：解决有关外接球问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径。