以形助数，化难为易

■薛兰党

数和形是高中数学中最基本的两个概念，两者具有相对独立的特征和表现形式，又有着密不可分的联系。下面例析以形助数的解题方法，供大家参考与学习。

一、由数想形，直观显现

例1设集合A={（x，y）|0≤x≤1，y=0}，B={（x，y）|y=a x+b}，试讨论是否存在实数a，b，使得A∩B=∅。

分析：若从代数的角度（即方程）去考虑，就是要方程y=a x+b在0≤x≤1内无解，显然这种讨论较麻烦。若从数形结合的角度去考虑，则比较容易解决。

图1

解：如图1，集合A表示x轴上的线段O P，集合B是直角坐标系内的一条直线l（函数y=a x+b的图像）。

A∩B=∅意味着直线l与线段O P没有交点，即直线l不在线段O P上穿过，所以直线y=a x+b在线段O P两端点的函数值同号，即（a· 0+b）（a· 1+b）＞0，可得b（a+b）＞0。

故当b（a+b）＞0时，A∩B=∅。

二、由数构形，变抽象为形象

例2已知不等式在上恒成立，则m的取值范围是（ ）。

分析：画出函数的图像，观察满足条件的m的取值范围。

解：令，画出这两个函数在上的图像（简图），如图2所示。

图2

由图2可知，当m＞1时，不可能存在x∈，使得函数的图像在y2=logmx的图像的下方。只有当0＜m＜1时，才有函数y1=x2-的图像在y2=logmx的图像的下方。由此可得所以解得应选B。

三、用数说形，变抽象为直观

例3已知曲线C1：y=3x+4x，C2：y=5x，试判断曲线C1与C2的交点个数。

分析：由于较难准确作出曲线C1的图像，因此通过直接观察C1与C2的图像来判断交点个数是不容易解决的。

解：由方程组可得3x+4x=5x，两边同除以5x，即得