几何体外接球问题的求解策略

2019-11-07葛建生

中学生数理化·高一版 2019年10期

■葛建生

在立体几何问题中，对球的组合体的考查，尤其是多面体的外接球问题，是高考的常考点，也是同学们学习的一个难点。此类问题实质上是解决球的半径长度或确定球心的位置，其中确定球心的位置是关键。下面具体剖析几种确定球心的位置的求解策略，供同学们学习与参考。

一、由球的定义确定球心

在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。由此定义，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下五个结论。

结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点。

结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。

结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。

结论4：正棱锥的外接球的球心在其高线上，其具体位置可通过计算找到。

结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。

例1如图1，在四棱锥E-A B C D中，正方形A B C D的边长为2，△A B E是E为直角顶点的等腰三角形，平面A B E⊥平面A B C D，则该几何体外接球的表面积为（）。

图1

解：取A B的中点为G，则G为△A E B的外心，连接A C，B D，G E。

设A C∩B D=O，连接O G，则O G⊥平面A E B。利用勾股定理易知O为四棱锥E-A B C D外接球的球心，则外接球的半径为

评析：本题主要考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法。解答本题的关键是确定外接球的球心位置。

例2底面边长为侧棱长为2的正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影是底面的中心）的外接球的表面积为（）。

解：由题意画出正三棱锥P-A B C，如图2所示。

图2

正三棱锥P-A B C的底面边长为设底面三角形A B C的中心为G，则A G=因为侧棱长P A=2，所以三棱锥的高设正三棱锥的外接球的球心为O，连接O A。在+12，解得

故外接球的表面积为4 πR2=4 π×O A2应选A。

评析：本题主要考查多面体的外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法。解答本题的关键是求出外接球的半径。

二、构造正方体或长方体确定球心

长方体或正方体的外接球的球心是体对角线的中点。以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法。

途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，都可构造正方体。

途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，都可构造长方体或正方体。

途径3：已知棱锥含有线面垂直关系，可将棱锥补成长方体或正方体。

途径4：三棱锥的三个侧面两两垂直，可将三棱锥补成长方体或正方体。

例3中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑。图3为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知P A⊥平面A B C E，四边形A B C D为正方形，A D=2，E D=1，若鳖臑P-A D E的体积为1，则阳马P-A B C D的外接球的表面积等于（）。