注重应用问题，提升数学素养——对五年新课程标准全国卷Ⅱ理科概率与统计应用题的分析与思考

甘肃

高中学习的“概率与统计”是大学统计学的基础，有承上启下的作用，是新课改后每年高考命题的热点和必考题之一.在实际应用方面的考查，它成为考查学生实践能力，增强创新意识和科学精神的良好素材.高考怎么考？通过分析高考真题，反馈学生学习中存在的问题，透视命题信息，以便对症下药，科学高效地备考.

一、高考新课程卷Ⅱ理科概率与统计试题的特点

1.五年全国新课程标准全国卷Ⅱ理科试题分布

年份题号题型题材立意考查内容2015(3)选择题柱形图数据分析(15)填空题二项式定理二项展开式系数的性质(18)解答题茎叶图茎叶图、平均数、概率2016(5)选择题计数原理、组合分步计数原理、组合(10)选择题几何概型随机模拟求几何概型(18)解答题概率、分布列条件概率、随机变量的分布列、期望2017(6)选择题计数原理、组合分步计数原理、排列组合(13)填空题二项分布二项分布的方差(18)解答题列联表用样本估计总体2018(8)选择题古典概型等可能事件的概率(18)解答题线性回归分析线性回归直线方程2019(5)选择题统计中数字特征的含义用样本估计总体的数字特征(13)填空题统计问题频率分布中的加权平均值(18)解答题概率求随机变量的概率

2.试题特点

(1)题型稳定、题量稳定.“整体稳定，适度创新”，每年题量为“两小一大”三道题或“一小一大”两道题，其中两道为概率或统计题.

(2)分值稳定、难度稳定.分值为22分或17分，难度中等或中等偏易，如2018年、2019年第18题分别考查了“线性回归直线方程”和“随机变量取值的概率”，从2007年开始，此类试题经过13年发展逐步稳定，并成为高考卷中的主流应用题.

(3)基础性强，思想方法渗透性强.重视基本概念、基本公式与方法.注重分类与整合、数形结合、化归与转化、函数与方程、特殊与一般和统计与概率的数学思想.

(4)试题背景熟悉.纵观五年高考试题，其背景概括起来有“用户对产品的满意度、续保人购买保险、淡水养殖、环境基础设施投资、乒乓球比赛结果和场次的安排等”，这样的试题紧密结合社会实际和贴近学生生活实际，并赋予时代气息，充分考虑不同学生群体思维的差异，提高了学生对数学价值的认识，体现了“数学建模”等核心素养，发挥了思想教育功能，在数学教育和评价中落实立德树人的根本任务.

二、试题解析及反思

例1.(2015·全国卷Ⅱ理·18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；

A地区B地区456789

(Ⅱ)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意

记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.

评注：第(Ⅰ)问通过画茎叶图，从平均数和方差的本质上考查学生对图表数据的处理能力和对统计思想的理解；第(Ⅱ)问把事件C看作是两个互斥事件的和，以B地区用户的满意度等级为分类标准，简记为A>B，即一类是B地区用户不满意但A地区用户满意或非常满意，另一类是B地区用户满意和A地区用户非常满意.也可以以A地区用户的满意度等级为分类标准，将事件C分为两个互斥事件的和求概率.

问题：不会画第(Ⅰ)问的茎叶图或不识图，即不会通过茎叶图回答问题；第(Ⅱ)问以图表形式给出条件概率，看起来一目了然，但由于平时不常见，不清楚事件之间的关系，无形中增加了难度，部分同学感觉到无从下手.另外对事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，没有将其分成两个互斥事件的概率之和，不能正确地进行分类讨论，转化与化归困难，对图表理解不透.

反思：对统计和概率题，先通过对数据的处理画出茎叶图，观察数据平均值和波动的大小，体现“多想少算”，更多地强调对概念的理解、识图，以及根据统计图获取信息和对数据处理的能力.对于求解复杂事件(互斥与独立事件交互)的概率，一定要提高学生的思维水平与求解的路径.

例2.(2016·全国卷Ⅱ理·18)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05

(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

评注：与2008年大纲版全国卷Ⅱ类似，以保险为题材，贴近生活实际，具有一定时代背景，主要考查学生的互斥事件概率、条件概率的求解和随机变量分布列，考查阅读理解能力与运用数学模型解决实际问题的能力.

问题：理解困难，等价转换困难，审题马虎，对关键词“保费比基本保费高出60%”的理解出错，以至无法转换为在“一续保人本年度的保费高于基本保费”条件下，求“一续保人在一年内出险次数为4次或5次以上”的概率，对条件概率掌握不好.求平均保费就是求本年度保费变量X的数学期望，理解了这点，一切问题迎刃而解.

反思：对文字和图表的阅读，无法对应起来，致使不能列式求解计算.“问题引导学习”应当成为基本的教学原则,即通过提出恰当的、适度的启发性问题，引导学生思考和探索，经历观察、实验、猜测、推理、交流和反思等理性思维基本过程，切实改进学生的学习方式，培养问题意识，孕育创新精神.

例3.(2017·全国卷Ⅱ理·18)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：

旧养殖法

新养殖法

(Ⅰ)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

(Ⅱ)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；

箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法

(Ⅲ)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).

附：

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

评注：以海水养殖水产为题材，考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，独立性检验原理，涉及独立事件概率公式、数据平均数、方差的计算和用频率分布直方图估计中位数，关键在于认真分析频率分布直方图.

问题：读懂频率分布直方图难度不大，以频率估计概率都能理解，但计算中粗心致错非常遗憾；难点是利用频率分布直方图求中位数(中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的)；正确填写2×2的列联表是在独立性检验中得出正确判断的关键.

反思：以养殖水产为题材，贴近生活实际，所用数学知识(计数和概率)也不复杂，重点培养学生的数学核心素养和数据分析能力，数学建模中识图、读图和用图是必须掌握的方法.利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题做出合理的推断和预测.独立性检验就是考查两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，随机变量的观测值K2值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大.利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意掌握求解方法和异同点，特别要掌握中位数的求法.

例4.(2018·全国卷Ⅱ理·18)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.

(Ⅰ)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

(Ⅱ)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

评注：本题采用真实数据，增强了试题情境的真实性和可靠性，第(Ⅰ)问是已知回归直线方程，可以直接将数值19和9代入求得待定要求下的预测值；充分考查学生的图形识别能力，数据分析、数学建模和数学运算的核心素养，体现数学知识在生活中的应用.

问题：计算时粗心致错；第(Ⅱ)问看图分析和总结，有些同学选模型①还是模型②莫衷一是，最后就随便选了一个或者做的时候感觉时间越长越稳定，就选择了模型①.其实根据折线图知从2000年到2009年与从2010年到2016年是两个有明显区别的直线，且从2010年到2016年的增幅明显高于从2000年到2009年的增幅，因此用模型②得到2018年的预测值更加可靠.

反思：本题是以环境基础设施投资额为背景的一道开放性题目，采用真实数据，设计的问题将所学数学知识与经济社会发展相结合，具有很强的现实意义，难度不大，但对学生的语言表述和逻辑说理能力要求较高，不容易得满分.学生普遍反映看似简单做起来又觉得难，看答案觉得不太难，但又做不上.所以平时要多练文字叙述量较大，内容也比较丰富的材料阅读应用题，如何建立数学模型以及如何利用选择的数学模型解决实际问题，要在“熟化”上多下功夫.做题的时候要细心，不能马虎大意轻视题目.

例5.(2019·全国卷Ⅱ理·18)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

(Ⅰ)求P(X=2)；

(Ⅱ)求事件“X=4且甲获胜”的概率.

评注：以乒乓球比赛结果和场次的安排提出问题，要求考生应用概率的有关知识和数学方法分析解决体育问题.读懂题目，理解实际问题中蕴含的数学意义是解题的关键.试题难度不大，但要求考生准确规范表达是十分重要的.

问题：概括起来有三点：(1)对“X=2,X=4”所对应的事件理解不全面、不到位；(2)对换发球时甲赢的概率混淆不清；(3)第(Ⅱ)问没有明确“X=4且甲获胜”是相互独立事件，X=4又为彼此互斥事件.

反思：明确对离散型变量取值时，把变量数字特征“X=2,X=4”转化为具体、明白的基本事件的概率很关键，但教学中帮助学生理解变量对应的事件是什么和由哪些基本事件构成，不能把事件过程一带而过.

三、学习困惑及原因分析

1.对概念理解不到位，一知半解

对概率与统计概念理解不清、领悟不深.在列举基本事件时，出现重复或遗漏；混淆“有序”与“无序”的区别；不注意“有放回”与“无放回”的区别.在求离散型随机变量的分布列时，一是写错变量ξ可能的取值，或将实验的结果遗漏(重复)而导致概率求错，所以得分率较低；二是不能把变量的取值转化为某事件发生的概率，自己弄不明白变量取某一值时对应的事件是什么，没有找到概率模型，抽象思维差；三是看不明白统计图表，解读不透彻，不会借助频率分布直方图估算平均数、中位数和众数，不善于从图表信息中提炼数据关系，导致在数字特征的含义与求解、有序与无序的界定等问题方面出错.统计案例是高考命题一大亮点，学生不会阅读、心态浮躁是目前数学教学中普遍存在的一个突出问题.

2.计算错误比较普遍

在求解过程中运用公式和方法都正确，但出现非智力因素的计算错误很普遍，如线性回归方程中系数的求解，独立性检验统计量K2的计算等.另外求分布列时将概率不约为简分数、马虎、笔误和答非所问等现象很严重.

3.规范性欠佳，文字表达差

在对实际问题进行数学抽象、用数学语言表达问题时存在格式不规范和文字表达不流畅的问题.对于概率问题，语言的严谨性不够，阅读能力欠缺，使得解题过程不严密、不完整，如求概率时，缺少对事件必要的文字说明，没有按要求列出基本事件，只有干巴巴的数字符号和列式，文字表达捉襟见肘，这样会出现常规失分.

4.理性思维不够

对概率与频率的关系及对等可能事件的理解不到位，概率与统计的教学目的是使学生体会概率与统计的基本思想.处理数据、制订方案，培养学生基于数据表达显示问题的意识，形成通过数据认识事物的思想品质.

四、命题趋势探讨

今后高考命题仍然会围绕古典概型与几何概型、概率与统计题的综合应用、概率与统计案例的综合应用三个方面进行考查，以真实情境和考生所熟悉、贴近的生活为背景，在考查阅读理解能力、语言表达能力、概括能力与运用数学模型解决实际问题的能力的同时，强调实践能力立意，突出文化底蕴与学科素养导向，将基础性和创新性作为重点要求，理性思维作为重点目标，延续“稳中求变，变中创新”的风格，落实“五育”方针，体现数学原理和方法在解决问题中的价值和作用.

五、概率与统计教学实施的策略及备考建议

1.回归教材，一题多变

教材是学习数学基础知识和形成基本技能的“蓝本”，是高考试题的重要知识载体.高考试题的特点是“源于课本，寓于现实”.复习阶段必须按《考试说明》的要求，以教材的例题和习题为素材，深入浅出，举一反三，对知识加以类比、延伸和拓展，在领悟教材知识与高考试题的内在联系及对典型例题的变式上狠下工夫，力求对教材内容融会贯通，只有这样，才能“以不变应万变”，达到事半功倍的效果.

2.重视阅读，捕捉信息

概率与统计结合题，无论是直接描述，还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图和图表等信息进行描述，都需要静下心来耐心阅读，将条件言简意赅地呈现出来，并从中提炼出需要的信息，找出关键信息，将其用数学语言表达出来.引导学生阅读教材，要求学生在“初读”中整体感知知识内容，了解考向目标；在“细读”中分清主次，去粗存精；在“精读”中找出关键信息，重点突破；在“熟读”中建立模型，找到求解方法.

3.重视数学思想方法的渗透

概率统计中的数形结合思想常使统计问题直观化、形象化，尤其对文科考生，由于降低对概率计算的要求，常需要用列表或画图的形式列举基本事件的个数，从而进行概率计算；分类讨论思想常用于数据采集、分类计数及概率计算；化归与转化思想常使复杂的概率事件变得简单，易于计算，起到化繁为简的作用.因此，在解答概率与统计问题时，分清关系，列出式子，用数学语言准确作答是解答概率问题的有效手段.

4.重视对高考主观题的研究

从近五年概率与统计解答题来看，都有较强的实际背景，以能力立意，对阅读理解、推理分析和数据运算的能力要求都比较高，对数据中隐含信息和特征的图表的考查是重点，其特点是综合性强，思维量大，设问不落俗套.因此，在高三复习中，应广泛联系社会生活中的实际问题，加强统计图表的识别、绘制和应用的训练，提高灵活运用图表信息做出统计推断和决策的能力.

5.加强思维训练，提高语言表达的准确性

学生在解答概率与统计问题时，不能准确地使用文字语言表达解题的过程，但是适当的文字表述又是必要的，这是学习概率与统计的一个难点.因此，在复习该部分内容时，应重视概率与统计的“特定”语言的思维训练，提高运用数学语言准确、清晰和流畅表达的水平.

6.重视案例教学过程，培养思维能力

通过案例注重统计的过程，让学生经历“收集数据——整理数据——分析数据——做出推断”的数据处理过程，不断加深对概率与统计的理解，培养学生数学建模、数据分析和数学运算等核心素养.《普通高中数学课程标准》(2017年版)中明确提出：“强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力,同时注重数学文化的渗透.”因此，在案例教学中，要让学生多实践、多动手操作、多分析和多思考，从中发现问题并解决问题，亲身体验案例情景，以激发兴趣，并深刻体会数学来源于生活又服务于生活.