妙求等差乘等比型数列和

河南省平顶山市第一高级中学 李伟锋

罗增儒教授在《数学解题学引论》一书中提出，我们探讨解题方法的实质，就是要透过机械操作的形式去弄清每一个解题方法与什么样的数学知识相联系，与什么样的数学方法相结合。简而言之，数学方法应重在理解，重在理解本质。等差乘等比型数列求和问题通常用错位相减法来解决，倘若我们能从问题的根源入手，解决这些问题就水到渠成。

一、错位相减法

将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法。运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列，另一项是等比数列。

例1(2019 年福州模拟卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1。

(1)证明：数列{an}是等比数列；

(2)设bn=(2n-1)an，求数列{bn}的前n项和Tn。

解析：(1)当n=1 时，a1=S1=2a1-1，解得a1=1。

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)，解得an=2an-1。

所以数列{an}是以1 为首项，2 为公比的等比数列。

(2)由(1)知，an=2n-1，所以bn=(2n-1)×2n-1。

因此，Tn=1+3×2+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1。①

2Tn=1×2+3×22+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n。②

所以Tn=(2n-3)×2n+3。

点评：设数列{an}为等比数列，数列{bn}是等差数列，则求数列{anbn}的前n项和Sn可用错位相减法。一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解，但需要注意“同类项”要对齐，以便求差，而且应用时要注意q≠1这个条件。

练习1：已知等差数列{an}满足a2=0，

a6+a8=-10。

(1)求数列{an}的通项公式；

解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得

故数列{an}的通项公式为an=2-n。

所以当n＞1 时，以上两式相减得

S1=1，也满足

二、裂项相消法

等差乘等比型数列的求和，也可以利用裂项相消法，将其通项拆成两个等差乘等比型数列的差，再叠加求和。

例2设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an-1。

(1)求数列{an}的通项公式；

解析：(1)由2Sn=3an-1①，得：

2Sn-1=3an-1-1(n≥2)。②

①-②，得2an=3an-3an-1，故3(n≥2)。

又2S1=3a1-1，则a1=1。

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故{an}是首项为1，公比为3 的等比数列，an=3n-1。

点评：裂项相消法的关键是将通项拆成两个等差乘等比型数列的差。

三、待定系数法

若数列{cn}的通项公式为cn=an·bn，其中数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，则数列{cn}的前n项和的形式是Sn=(An+B)qn-B。

例3已知数列|an|的前n项和Sn=kcn-k(其中c，k为常数)，且a2=4，a6=8a3。

(1)求an的表达式；

(2)求数列{nan}的前n项和Tn。

解析：(1)当n＞1 时，an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1)。

当n=1时，a1=S1=2，也满足上式。

综上所述，an=2n(n∈N*)。

(2)由nan=n2n，可设Tn=(An+B)×2n-B。

因为T1=2，T2=10，所以解得A=2，B=-2。

所以Tn=2+(n-1)2n+1。

点评：本题是等差乘等比型数列的求和型问题。利用待定系数法，必须熟悉数列{cn}的前n项和的形式是Sn=(An+B)qn-B，再利用前两项代入，即可求得结论。利用错位相减法如下：由nan=n·2n，则Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n(1)，2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1

(2)，(1)-(2)得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1，所以Tn=2+(n-1)·2n+1。两种方法，结果一样。