高考递推数列的九种高效思维模型

2019-11-07四川省巴中中学特级教师

中学生数理化(高中版.高二数学) 2019年10期

四川省巴中中学肖斌(特级教师)

递推数列蕴含着极为丰富的数学基础知识及思想方法，它是考查转化化归思想与逻辑推理能力的好素材，因此成为历年来高考高频考点之一。其破解的基本策略是：根据递推式的不同特征，利用辅助手段进行合理变形，将陌生的递推关系转化为较为熟悉的等差(或等比)数列去处理。本文在研究了大量的高考真题和优秀的模拟试题的基础上，总结提炼出由数列递推关系求通项的九种高效“思维模型”，旨在帮助同学们建立起良好的思维习惯，以便在实战中“快速识别模型、精准以型定法、灵活循法突破”，即引导同学们学会用最基本的“思维模型”所揭示的“兵法谋略”，强势应对精彩纷呈的递推数列新题、难题。

一、Sn=f(n)型及Sn=f(an)型递推数列——“借鸡拣蛋”法

(1)Sn=f(n)型递推数列，一般利用an处理，这是任何数列都具有的共性。先消去an，还是先消去Sn，需由题目具体特征而定。

(2)Sn=f(n)型及Sn=f(an)型递推数列，有时候干脆直接将原递推等式中的n用n-1(或n+1)代换，得到一个新的递推等式，通过对这两个新旧递推等式整体相减(或相除)，转化成新的等差(或等比)数列，促成问题的迅速转化与解决。此时需特别注意新递推等式中n的限制条件的改变，务必及时准确标注于后。这种处理策略，俗称“借鸡拣蛋”法。

例1(2018年安徽合肥市一模理数第8题)已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn=2an-3n，则a2018=( )。

解析：当n=1时，3S1=3a1=2a1-3，解得a1=-3。

因为3Sn=2an-3n，①所以当n≥2时，3Sn-1=2an-1-3(n-1)。②

①-②得3an=2an-2an-1-3，即an=-2an-1-3，也即an+1=-2(an-1+1)(n≥2)。

因为a1+1=-2≠0，所以{an+1}是以-2为首项，-2为公比的等比数列。

因此，an+1=(-2)n，an=(-2)n-1，a2018=(-2)2018-1=22018-1，选A。

评注：Sn=f(n)及Sn=f(an)型递推数列，通过下标升降、“借鸡拣蛋”实现Sn向an的转化。

二、连续多项的和、积型递推数列——“借鸡拣蛋”法

例2(2019年广东省六校高三第一次联考理数第12 题)已知数列{an}满足a1+2a2+…+(n-1)an+nan=(2n-1)·3n，设为数列{bn}的前n项和，若Sn＜λ(λ为常数，n∈N*)，则λ的最小值是( )。

解析：(解法一，“借鸡拣蛋”法)因为a1+2a2+…+(n-1)an+nan=(2n-1)·3n。①

所以当n≥2时，a1+2a2+…+(n-2)·an-2+(n-1)an-1=(2n-3)·3n-1。②

①-②得nan=4n·3n-1。

解得an=4·3n-1(n≥2)。

由于a1=3 不适合上式，所以an=

(解法二，换元引入新通项法)令cn=nan，设数列{cn}的前n项和为Tn，则有Tn=c1+c2+…+cn=(2n-1)·3n。

当n=1时，c1=a1=3。

当n≥2时，cn=Tn-Tn-1=(2n-1)·3n-(2n-3)·3n-1。

解得cn=4n·3n-1(n≥2)。

又c1=3 不适合上式，所以cn=因为，所以

以下过程略。

三、an+1=an+f(n)型递推数列（f(n)不是常值函数)——逐差叠加法（累加法）

(1)先将递推式变形为an+1-an=f(n)，用1，2，3，…，(n-1)替换n，有a2-a1=f(1)，a3-a2=f(2)，…，an-an-1=f(n-1)(n≥2)。

将上述n-1 个式子累加，变成an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)(n≥2)，进而获解。

(2)过程简化为恒等式an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1(n≥2)，类似还有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2(n≥3)，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a4-a3)+a3(n≥4)等等。

例3(2019 年四川巴中市高考模拟题)2000 多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题。他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类。如图1中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=_____，若an=145，则n=_____。

图1

解析：a2-a1=4，a3-a2=7，a4-a3=10，观察图形可得，数列{an-an-1}(n≥2，n∈N*)构成首项为4，公差为3 的等差数列，所以a5-a4=13，a5=35，an-an-1=3n-2(n≥2，n∈N*)。应用累加法得an-a1=4+2，n∈N*)，所以≥2，n∈N*)。当an=145 时，，解得n=10。

四、an+1=an·f(n)型递推数列（f(n)不是常值函数)——逐商叠乘法（累乘法）

例4(2019年江西省五校协作体高三联考卷理数第16 题)在数列{an}中，a1=1，，记Sn为数列的前n项和，若，则n=____。

解析：(解法一，逐商叠乘法)由已知得则an

又a1=1也适合上式，故

五、an+1=pan+q(p≠0、1，q≠0)型，即一阶线性递推数列——待定系数构造法、“借鸡拣蛋”法

(1)待定系数构造法——配常数：设an+1+λ=p(an+λ)，整理得an+1=pan+λ(p-1)，比较系数有λ(p-1)=q，得，所以是公比为p，首项为的等比数列。

(2)用“借鸡拣蛋”法——消常数：由an+1=pan+q，得an=pan-1+q(n≥2)，两式相减有an+1-an=p(an-an-1)(n≥2)，所以当a2-a1≠0 时，an+1-an}是公比为p的等比数列。转化成an+1-an=f(n)型后，可用逐差叠加法或方程组法获解。

例5(2016 年高考浙江卷理数第13题)设数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=_____，S5=____。

解析：(解法一，待定系数构造法——配常数)因为an+1=Sn+1-Sn=2Sn+1，所以Sn+1=3Sn+1。S2=3S1+1=4，得a1=S1=1。

令Sn+1+λ=3(Sn+λ)，有Sn+1=3Sn+2λ，所以2λ=1，解得

(解法二，用“借鸡拣蛋”法——消常数)因为an+1=Sn+1-Sn=2Sn+1，所以Sn+1=3Sn+1，进而Sn=3Sn-1+1(n≥2)，两式相减得Sn+1-Sn=3(Sn-Sn-1)(n≥2)。

又S2-S1=(3S1+1)-S1=2S1+1=3≠0，所以{Sn+1-Sn}是以3为首项，3为公比的等比数列，Sn+1-Sn=3n。又Sn+1=3Sn+1，故

(解法三，用“借鸡拣蛋”法——消常数)因为an+1=2Sn+1，所以an=2Sn-1+1(n≥2)，两式相减得an+1-an=2an(n≥2)，即an+1=3an(n≥2)。由S2=a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，得a1=1，a2=3，则a2=3a1。因此，an+1=3an(n∈N*)。

因此，{an}是首项为1，公比为3的等比数列，故

例6(2019年东北三省四市教研联合体高考模拟文数第16题改编)已知数列{an}中，则数列的前n项和Tn=____。

解析：由已知得两边取倒数得