基于双贝叶斯模型的非寿险未决赔款准备金的评估研究

2019-11-05

福建质量管理 2019年20期

(浙江工商大学浙江杭州 310018)

引言

准备金是保险公司主要的负债，未决赔款准备金是指在会计年度决算以前发生保险责任未赔偿或未给付保险金，是在当年收入的保费中提取的资金。

国内外学者关于准备金的研究大都集中以赔款额为应变量[1-3]，忽略了索赔次数等赔付信息，只有少数学者将索赔次数与案均赔款额结合起来，但都将其置于广义线性模型中[4-7]，未考虑不可观测因素即模型中参数的分布。为了充分考虑索赔次数、赔款额这两种赔付信息与不可观测因素，本文建立了双贝叶斯模型并从理论上给出了此模型的预测误差，与此同时比较模型的优劣。最后，本文进行实证分析，结果表明建立的模型具有较高的预测精度。

一、两阶段贝叶斯模型

流量三角形是对未决赔款准备金进行估计的数据组织形式。利用流量三角形上三角的数据估计出下三角的数据是流量三角形的最终目的。本文中，假设交叉排列的矩阵为I×J型矩阵，令索赔次数流量上三角形观测数据为A，下三角形预测数据为Ac，案均赔款额流量上三角形观测数据为U，下三角形预测数据为Uc。增量赔付额流量上三角形观测数据为B，下三角形预测数据为Bc。第i个事故发生年在第j个进展年的累计索赔次数为Ni,j(0≤i≤I,0≤j≤J)，增量索赔次数ni.j=Ni,j-Ni,j-1，ni.0=Ni,0。Yi,j表示第i个事故发生年在第j个进展年的赔款额数据，案均赔款额为:

(一)第一阶段：索赔次数的预测

1.索赔次数模型的假设

本文采用超散布泊松模型(ODP模型)。考虑不可观测因素即模型中参数自身的变化，根据Wüthrich(2013)中的研究，将模型中参数假设为Gamma分布。因此，采用贝叶斯ODP-Gamma模型对索赔次数进行研究。做出以下假设：

其中，Ψ=(p0,p1,…,pI,q0,q1,…,qJ)，p=(p0,p1,…,pI)，q=(q0,q1,…,qJ)，pi：事故发生年因子；qj：事故进展年因子；ni,j之间相互独立。

由于pi为事故发生年因子，所以pi服从的Gamma分布中形状参数pai与事故发生年有关，且不好估计，因此本文假设

I.pi服从无信息先验分布，即pai→0；II.pi服从强信息先验分布，即pai→∞。

事故进展年因子qj的先验分布Gamma分布中形状参数根据Wüthrich(2013)的研究不发生变化，所以本文尝试通过最小二乘法拟合增量索赔次数按列求均值求得形状参数pb。

在以上假设成立的情况下，有

E[ni,j|Ψ,A]=piqj，

(1)

var[ni,j|Ψ,A]=φpiqj，

(2)

第i事故发生年的条件最终索赔次数为

(3)

Ψ=(p0,p1,…,pI,q0,q1,…,qJ)标准化后的密度函数为

(4)

由式(4)得qj在(A,p)下的条件密度函数为

(5)

pi在(A,q)下的条件密度函数为

(6)

2.索赔次数的期望与方差

根据Wüthrich(2013)中的研究，索赔次数的期望即为索赔次数的估计值。所以，为了更好的计算索赔次数的预测值，根据式(1)(5)(6)本文有以下结论：

定理1.1：若假设1、假设2成立，且i+j>max(I,J)，则基于贝叶斯ODP-Gamma模型的索赔次数预测值为

(7)

定理1.3：若假设1、假设2成立，且i+j>max(I,J)，则基于贝叶斯ODP-Gamma模型的索赔次数的方差为

(8)

(二)第二阶段：案均赔款额的预测

1.案均赔款额模型的假设

指数分布是对单位时间内案均赔款额进行拟合的常用分布。考虑不可观测因素即模型中参数自身的变化，根据Wüthrich(2013)中的研究，将模型中参数假设为Gamma分布。因此，在已知每一事故发生年总索赔次数Ni,J的条件下，根据增量赔付额数据，得出案均赔款额Ci,j，且Ci,j相互独立，采用贝叶斯指数-Gamma模型对案均赔款额进行研究。做出以下假设：

假设3：Ci,j服从指数分布，即Ci,j|Θexp(wivj)

其中，Θ=(w0,w1,…,wI,v0,v1,…,vJ)，w=(w0,w1,…,wI)，v=(v0,v1,…,vJ)。wi为事故发生年因子；vj为事故进展年因子；Ci,j之间相互独立。