一种归一化的代理模型精度指标

2019-11-05张碧辉岳良明王军

航空工程进展 2019年5期

张碧辉，岳良明，王军

(1.中国航天空气动力技术研究院彩虹无人机科技有限公司，北京 100074) (2.中国航天空气动力技术研究院第二研究所，北京 100074)

0 引言

代理模型(Surrogate Model或Metamodel)是指通过有限数据，逆向定义一个关于一系列设计变量的连续函数[1]。以代理模型代替原数值分析模型或物理试验，具有使计算量大幅减小但又保证准确度的特点，适用于任何“改变输入反复调用计算模型”的领域[2]。

代理模型种类众多，常见的包括：多项式插值(Polynomial Regression)、径向基函数(Radial Basis Functions)、支持向量机(Support Vector Machine)、神经网络(Neural Network)、克里金法(Kriging)等。Wang Liping等[3]和Jin Ruichen等[4]对以上各种代理模型方法进行了较全面的介绍。

作为一种低成本近似技术，代理模型应具有足够的精度，因此如何衡量代理模型精度成为一项必要的研究工作。常见的代理模型精度检验指标名目繁多，不同文献所采用的指标各异。常见指标有：标准残差值SR[5]、误差平方R2[4]、均方根误差RMSE[6-7]、正则化均方根误差NRMSE[8]、相对最大绝对误差RMAE[6-9]、相对平均绝对误差RAAE[6]、代理模型接受率MAS[9]、平均百分比误差APE[10]等。

总结以上各种指标，计算过程中普遍采用：

(1) 函数真值与模型预测值之差的绝对值；

(2) 先求出函数真值与模型预测值的差值，再计算该差值与函数真值的比值；

(3) 先求出函数真值与模型预测值的差值，再计算该差值与函数真值标准差的比值。

在代理模型的应用中，通常在选定一种模型后，对多种数据分别进行拟合。例如，飞行器气动参数的研究，需要对升阻力系数、俯仰力矩系数等一系列气动参数进行建模，但是对于具有不同单位制、不同数值的两种数据，以上代理模型精度指标无法将二者进行横向比较：

(1) 飞行器的阻力系数数值都小于1，而力矩系数数值可能达到上百，第一类方法显然不可取；

(2) 某些气动参数数值分布在0的附近，会导致第二类方法得到的指标值失真；

(3) 采用第三种方法，模型精度会受到函数真值分布情况的影响。一般情况下，样本点越分散越能够包含更多函数信息，则模型越准确。但是认为模型准确度与样本点的标准差成反比是不合理的。

为了解决以上问题，实现对代理模型不同种类拟合数据的横向对比，本文提出归一化绝对误差均值(Mean Normalized Absolute Error,简称MNAE)来表征模型准确度，并通过某飞行器算例的计算结果，以证明该指标的有效性。

1 归一化绝对误差均值

(1)

根据代理模型预测数据的性质，当真实函数值同时为正或同时为负时，取：

(2)

当真实函数值既有正数又有负数时(即跨越0时)，取：

(3)

于是，任意函数真实值的归一化为

(4)

任意函数模型预测值的归一化为

(5)

代理模型的准确度，定义为归一化后真实值与归一化预测值差值的绝对值的均值：

(6)

MNAE值越小，说明代理模型预测精度越高。MNAE值的定义，重点在于归一化计算的上下界如何确定。对于样本函数值“同时在零点一侧”和“分布区间跨越零点”两种情况，分别选择不同的方法计算上下界。本文将上下界的区间设定的足够大，以使得所有样本点函数值归一化之后都落在(0,1)区间。

2 算例

本节算例为某型战术导弹。导弹弹体为圆柱形，弹头为圆锥型，弹翼采用常规式纵向布局、“X”型周向布局，主翼、尾翼均采用双弧型对称翼型，尾翼为全动舵面。其主要尺寸如图1所示。

图1 导弹主要几何尺寸示意图Fig.1 Dimensions of the missile example

导弹的外形设计参数确定后，调用Missile Datcom[11]计算不同飞行状态下的气动数据，得到代理模型样本点。

表征不同飞行状态的代理模型设计变量包括：攻角、侧滑角、速度、高度、飞行器重心位置，其取值范围如表1所示。

表1 设计变量及取值范围Table 1 Design variables and range

根据飞行器仿真程序的需求，气动数据共有11种，如表2所示。

表2 气动数据明细Table 2 Explanations of aerodynamic coefficients

3 Kriging模型及相关方法

Kriging模型的思想[12]是由南非工程师D.G.Krige于1951年提出的，之后发展成为一种地质统计学插值方法。1989年，J.Sacks等[13]将Kriging理论进一步推广到确定性计算机实验领域，并给出了一种较实用的Kriging算法。此后该方法在众多研究领域得到发展和应用。Kriging模型的基本思路详见文献[14]。Kriging模型在各种代理模型方法中建模工作相对复杂，但其拟合能力较强，在飞行器气动参数拟合领域得到广泛应用[15-17]。

实验设计是建立代理模型的必要准备工作，它的主要内容是:在设计变量空间内合理地布置有限的样本点，使其能够获得尽可能多的函数信息。常见的实验设计方法包括：拉丁超立方(Latin Hypercube)、正交表(Orthogonal Array)、蒙特卡洛法(Monte Carlo)等[18]。

对于飞行器气动性能这类复杂问题，响应函数在设计空间上的分布特性通常难以把握。本文在初次建立代理模型时选择较少样本数量，建立气动函数的粗略分布规律；基于初始样本得到的代理模型，通过一系列加点方法加入新的样本点，进而迭代修正代理模型。

根据文献[19]，本文Kriging模型建模过程中每次添加：函数极小值点，与现有样本距离之和最大点，预测方差最大点，改进期望值取不同系数所得到的5个最大值点。共计8个样本点。

以上各极值求解均选用遗传算法进行优化求解。

根据文献[20]，气动数据代理模型中总存在着一些“奇异点”，它们的真实值与代理模型预测值之间的误差很大，且不会随着样本点的增加而有所改善。剔除与“主流”数据点响应趋势不相符的“奇异点”能显著改善模型精度。本文在每一轮加点的同时，同样采用遗传算法求解出模型检验指标最差的3个点，将其从样本点中剔除。

综上，先增加8个样本点再删除3个样本点，一次样本更新后样本点数增加5个。

除了确定模型精度指标之外，计算模型精度的策略主要分两种：加点验证方法和交叉验证方法。加点验证方法简单直观，但却不能充分利用全部样本点来构建代理模型。交叉验证方法的基本思想可以简单描述如下：首先将样本点集S随机分成样本数目大致相等的m个样本点子集，在验证代理模型精度时，将其中的任一个样本点子集作为待验证的数据，其余的m-1个用于构建接受检验的代理模型，这样可以得到该子集对应的验证误差；当遍历m次，所有样本点子集都充当了验证数据后，就可以得到所有子集的精度指标。本文采用交叉验证方法进行代理模型精度检验。

综上所述，本文Kriging代理模型的建模、加点、检验方法流程如图2所示。

图2 代理模型建模流程Fig.2 Modelling process of the surrogate

4 计算结果

为了验证代理模型精度指标的准确性，将MNAE值与相关性图进行比较。

相关性图以最直观的方式表达代理模型的准确度：它的横坐标为一组输入数据的真实函数值，纵坐标为相同数据经过代理模型得到的预测值。相关性图中数据点的分布越接近y=x这条直线，说明代理模型预测得越准确。相关性图的局限性在于其分布情况只能通过目视观察，而不能给出定量的指标。

根据第3节所述方法，得到各气动参数70样本点Kriging模型的相关性图，如图3～图13所示。根据使用经验，阻力系数CD的Kriging模型选择二阶回归项与Gauss相关函数，其他气动参数统一选择一阶回归项与Exp相关函数。考虑个别气动系数集中分布在距离零点较远处，为了准确表达Kriging模型预测精度，各参数相关性图均包含零点。