初中数学函数与几何综合题解题策略研究

☉山东省济南市莱芜区雪野镇中心中学 朱 刚

初中数学几何与函数综合问题涵盖的知识点较多，在解题时需要综合运用数学思想方法.解决这类综合题的常见思路就是数形结合，化动为静，通过图形特征结合函数表达式，构建代数模型，采用函数方法解决.

一、“函数—几何”综合问题解题策略分析

1.问题剖析

函数与几何综合问题的题干信息较多，所设置的问题通常有2～4个，难度层层递进，前后问题联系紧密.对大多数学生来说，在有限的答题时间内掌握问题大意并建立前后问题之间的联系具有较大难度，很多学生审题之后得不出有用的信息，错误地将图中的信息当成已知条件，或者无法读懂图示信息.在这样的学情背景下，剖析题干信息具有重要的现实作用.在实际教学中，教师并不注重审题引导，往往要求学生自行读题，然后直接解决问题，这就导致了部分学生在不理解题目信息的前提下跟着教师的解题思路进行实践，在独立解题时仍然找不到解题思路.因此，在讲授函数与几何综合问题时，教师需要细致分析题干信息中的已知条件，通过简单的数学符号将己知条件直观地展示出来，辅助解题.在涉及动态问题时，需要将动点、动直线标注出来.教师的合理引导会让学生养成科学审题的习惯，这对于学生读题、审题、简化问题、分析问题、解决问题具有重要的意义.

2.强化数学语言转换能力

函数与几何问题涉及诸多数学语言，如代数符号、几何图形等，只有准确理解数学语言的表达方式，熟练转化各种数学语言，才能准确地提出解题信息，进而采取合适的方法进行解决.在授课过程中，教师需要系统地进行数学语言转换训练，实现几何与代数之间的科学转化.

3.提升问题转化能力

函数与几何综合问题的形式不一，灵活多变，因此单纯采用某一方法无法解决所有问题.在教学过程中，教师要强化学生的问题转化能力，引导学生将未接触过的问题转化成熟悉的、方法明确的问题，在解决问题之后进行系统总结，形成完整的知识网络与方法体系.经过一段时间的训练，学生的知识结构得以丰富，不仅仅是知识点的罗列，还有通过简单问题及思路方法的链接形成完备的方法体系.通过问题转化，学生对问题的解析不再单一，解题时思路更加多样，可供选择的方法也更多.

4.注重隐含条件挖掘

在函数与几何综合问题中，有些条件不会直接给出，需要学生经过观察或分析得出，如几何图像附带的解题信息.在解题过程中，部分学生无法得出这些隐含的条件，错误地认为条件不足.隐含条件是解决这类综合问题的关键，因此教师在解题教学中需要引导学生仔细读题，对比已知的题干信息和解决问题所需条件，得出尚未明确的条件信息，然后继续审题，尤其是几何图形特征、函数自变量的取值范围、函数的性质等，明确隐含条件.

二、函数图像与几何综合问题

图1

案例1：如图1所示，二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图像过坐标原点，与x轴交于点A，一直线过点A，和y轴交于点B，和二次函数的图像交于点C，已知点C的横坐标是-1，AC与BC的长度比为3∶1.

（1）试求解点A的坐标；

（2）已知二次函数图像的顶点为F，对称轴和x轴交于点E，和直线AB交于点D，若△FCD和△AED相似，试求解该二次函数的解析式.

解析：第（1）问求解较为容易，过点C作x轴或y轴的垂线段，根据平行线分线段成比例的原则即可求出OA的长度为4，进而求出点A的坐标为（-4，0）.利用点A的坐标，可以通过待定系数法确定函数表达式为y=ax2+4ax，分别表示出点C、F、D的坐标，过点C作CH⊥EF于点H，可证明点H为点F和点D的中点，利用直角三角形斜边中线定理构造方程，求解出参数a的值，进而确定二次函数的解析式，解题过程如下：

函数图像过原点，可知参数c的值为0.将点A（-4，0）代入解析式，可得y=ax2+4ax，确定点F的坐标为（-2，-4a），点C的坐标为（-1，-3a）.可知，解得DE=-2a，可知点D的坐标为（-2，-2a）.过点C作CH⊥EF于点H，CH=1，HE=CG=-3a，HF=-4a-（-3a）=-a，DH=-3a-（-2a）=-a，因此可证H为DF的中点.∠DCF=90°，可得，即1=，则a=-1，因此函数的解析式为y=-x2-4x.

总结：在解决本题的过程中，应用到了平行线分线段成比例定理，借助了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质及二次函数的图像与性质，综合考查了几何与函数内容，是对数形结合思想、方程思想、待定系数法等数学思想和方法的综合应用，对学生思维能力的要求较高.

三、函数描述几何面积问题

案例2：如图2所示，在△ABC中，∠B=45°，BC的长度为5，AD的长度为4，QP在BC上，点E在AB上，点F在AC上，AD和EF相交于点H.EF的长度为多少时，矩形EFPQ的面积最大？试求解出最大的面积.

图2

解析：这是典型的几何与函数相结合的问题，可以先用函数表达矩形EFPQ的面积，然后借助二次函数极值问题进行求解，得到矩形的最大面积及满足要求的长度.已知∠B=45°，可得BD和AD的长度均为4，CD=BCBD=1.因为EF和BC平行，可证明△AEH和△ABD相似，即同理，因为EF和BC平行，可证明△AFH和△ACD相似，即综上，可得，因此，即EH=4HF.设EF的长度为x，计算得因为∠B=45°，计算可得，因此矩形EFPQ的面积易知当EF的长度为时，矩形EFPQ的面积取到最大值，面积的最大值为5.

总结：本题是对相似三角形的判定与性质、二次函数最值求解、矩形、三角形等的综合考查，涉及的知识内容较多.解决本题的关键就是根据几何图形的动态变化情况构建函数解析式，将几何问题利用函数问题，转化成函数的图像、性质进行求解，得出最终结果.

四、结语

综上所述，初中函数与几何综合问题所涵盖的知识点较多，方程、函数、几何图形、坐标系等，问题设计具有较强的综合性、层次性及创新性.在解决这类问题时，要求学生具备扎实的知识基础和解决问题的技能.同时，教师需要培养学生的数形结合、函数与方程、化归与转化等数学思维能力.这类问题没有固定的解决办法，相比于特定的解决方法，解决问题的思路才是教学的重点.