构造辅助圆 巧解初中数学几何问题

☉江苏省常熟市孝友中学 陈艳秋

在解决初中数学几何问题时，很多证明题无法通过常规思路进行论证，而转换思路，借助绘制辅助圆的方式能够有效解决.辅助圆的方法，就是基于题目本身的特征，结合圆的相关性质、特征，巧妙地解决问题.本文以苏科版初中数学为例，介绍几种常见辅助圆构造案例及相关的解题思路.

一、问题背景

在解决初中数学几何问题时，有部分题目直接求解或证明的难度较大，解题过程烦琐、复杂，在有限的考试时间内解得正确结果的难度较大.在这种情况下，添加必要的辅助线有利于综合分析已知条件，梳理解题思路.在解题过程中，平行线、垂线等直线段是最常用的辅助线.

与此相类似，在一些几何问题中，我们需要构造另外一个几何图形来辅助解题，如通过平移、旋转等方式来绘制全等图形，这种借助其他几何图形来解题的方法就是构造辅助图形.在实际解题中，我们经常会构造圆形，即绘制辅助圆，借助圆的性质很容易就可以得到相应的结论.当然，在已知的题目信息中，圆是不存在的，或者已知信息中的圆并不是我们采用特定方法解题所需要的，这时我们需要自行构造圆形，因此如何根据已知信息及选用的方法要求来绘制辅助圆是这一方法的关键，需要我们基于已知条件，结合几何图形，从所需得到的结论反推，得出缺失的条件，最终确定如何构造辅助圆.

二、构造辅助圆法案例解析

（一）已知“直角三角形”“90°角”等关键信息

案例1：如图1所示，在直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点P位于CB的延长线上，BP与BC的比值为k，已知k的取值范围为（0，1）.经过点B作AB的垂线，经过点P作AP的垂线，两垂线的交点为点Q，连接AQ，试求解三角形ACB与三角形APQ的面积之比.

图1

解析：根据已知条件，∠ABQ=∠APQ=90°，因此A、B、P、Q四点共圆，因此，可以绘制辅助圆O.可知∠PAQ=∠PBQ=45°，进而确定三角形APQ为等腰直角三角形，很容易就可以求解两个三角形的面积之比.

由已知条件，∠ABQ=∠APQ=90°.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，可知∠ABC=∠BAC=45°，则∠PBQ=180°-90°-45°=45°.

因为∠ABQ=∠APQ=90°，可知点P与点B都在以线段AQ为直径的圆上，因此绘制辅助圆O，那么∠PAQ=∠PBQ=45°，则∠PQA=90°-45°=45°，则PA=PQ，即三角形APQ为等腰直角三角形.

（二）“共顶点、等线段”问题

案例2：如图2所示，已知四边形ABCD满足：AB∥CD，AD=DC=DB=p，BC=q，试求解对角线AC的长度.

解析：在四边形ABCD中，已知DA=DB=DC，因此可以以点D为圆心，以DB的长为半径构造辅助圆，即三角形ABC的外接圆.易知∠CAE=90°.AB∥CD，则BC=AE.在直角三角形ACE中计算AC的长度，即

图2

（三）动态几何问题

在平面内，如果已知线段AB，点C是AB外一个动点，并且满足∠ACB是固定值，那么点C在以AB为弦的圆上.特别地，如果∠ACB=90°，那么点C就在以AB为直径的圆上.通过这一定理，可以借助绘制辅助圆来解决几何中的一类动态问题.

证明：如图3所示，已知线段AB和点C、D，并且∠D=∠ACB.根据“不共线的三点可以确定一个圆”，可通过A、B、C三点作圆O.

如果点D在该圆外，AD和圆O交于点E，连接BE.因为同弧所对的圆周角相等，因此可得∠AEB=∠ACB.因为∠D=∠ACB，所以∠AEB=∠D，这与三角形的外角性质不一致，因此点D不在圆外.

图3

同理，可以排除点D在圆内的可能.

可知点D在圆O上.若动点所对定线段张角固定，那么该动点在以定线段为弦的圆上运动.当张角为90°时，该定线段为圆的直径.

案例3：如图4所示，边长为4的正方形ABCD的一条对角线BD上有一个动点P，且不与端点重合，连接AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为点H，连接DH.试求解线段DH的最小长度.

解析：在这个问题中，∠AHB始终是直角，所对的边AB是固定线段，因此根据上述原理，很容易就联想到添加辅助圆来确定点H的运动轨迹，问题就从求DH长度的最小值转变成了圆外一点到圆上某一动点距离的最小值.

图4

在点P的运动过程中，∠AHB始终为90°，因此点H在以AB为直径的圆上，圆心为线段AB的中点，假设为点E.连接DE，与圆交于点M，易知AD的长度为4，AE的长度为2，∠BAD=90°，因此DE的长度为当点H运动至和点M重合时，DH的长度最小，此时DH=DM=

三、结语

在解决部分初中数学几何问题时，辅助圆是一种有效的工具.灵活、巧妙地构造辅助圆，能够将原本复杂、不常见、与圆无关的题目简化，建立与圆的性质、定理之间的联系.反向推导，构建结论与条件之间的关系，借助圆的定义、性质及判定定理，将复杂的、不常见的题目简化、一般化，使得原本很难解决的问题得以解决，提高解题效率及效益.

在教学实践过程中，笔者会有意引导学生通过构造辅助圆来解决几何问题，学生在解决这类问题时的思路更加多样，方法的选择也更加自主，数学思维能力得以提升，部分学生在灵活掌握辅助图形法的基础上，学会了自我归纳，总结出适用这种方法的题目的类型及特征，在班级内部进行了分享，这有利于学生准确分析题目，科学选用方法，这正是笔者的教学目标，即突破教学内容的限制，注重数学思维方法与学生自主学习、合作学习能力的提升.