诊评错解与教学跟进：值得修炼的专业基本功——从学生错解的订正说起

☉江苏省常熟市尚湖中学 胡建中

《中学数学》（下）近年来有多篇文章关注学生错误解法的诊评与教学跟进，对我们深入研究相关考题有很好的启示作用.笔者近期也深入诊评过学生的一些错误解法，有了一些认识和思考，本文从一个学生的错误解法说起，深入剖析这道考题的解法与结构，并提出一些相关思考，供研讨.

一、从学生的错误解法说起

考题：（2018年江苏徐州，第28题）如图1，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上.△AOB的两条外角平分线交于点P，点P在反比例函数y=的图像上.PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD.

（1）求∠P的度数及点P的坐标.

（2）求△OCD的面积.

（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由.

图1

图2

学生解法：（1）由AP、BP是△AOB的两条外角平分线，得

由∠OAB+∠OBA=90°，得∠BAy+∠ABx=135°.则∠P=45°.

如图2，过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，PH⊥AB于点H.

则∠PMA=∠PHA=90°.

在△APM 和△APH 中，∠PMA=∠PHA，∠PAM=∠PAH，PA=PA，则，则PM=PH.

同理，PH=PN.

则PM=PN.

（2）设OA=a，OB=b，则AM=AH=3-a，BN=BH=3-b，则AB=6-a-b.又AB2=OA2+OB2，则a2+b2=（6-a-b）2，可得ab=18-6a-6b.①

（3）设OA=a，OB=b，则AM=AH=3-a，BN=BH=3-b，则AB=6-a-b.

在直角三角形AOB中，a2+b2=（6-a-b）2，整理得a=

解法诊评：（诊评顺序就依据学生解法展开）

对于第（1）问，虽然答案正确，但是解法步骤中有思维回路，主要是处理“PM=PH”时用的是全等法，可以直接使用“角平分线上的点到角的两边距离相等”简化推理，数学解法需要求优、求简.

第（2）问思路方向、解题路径都是正确的，但是在关键步骤的演算变形上出错，即上面步骤“①”出现错误，应该订正为“ab=6a+6b-18”，在步骤③中，代入运算出现错漏，把面积计算公式的系数漏掉，也是另一处错误.订正上述两个错漏之后，演算就得到了正确答案9.

需要指出的是，上述思路好理解，但是需要扎实的数式、方程、函数最值分析的运算基本功，这就是设出点A（0，a）、B（b，0），并进一步利用直角三角形AOB沟通a、b之间的关系式，代入△AOB的面积表达式中，从而“消参”得出只含一个参数a或b的式子，这里再利用根的判别式对分式最值进行分析就可以了.然而，“望断天涯路”之后，是“衣带渐宽终不悔”的运算和最值分析，也是多数初中生难以达到的分析层次.

二、对考题解法的进一步探究

图3

我们先给出第（2）问的不同思路，因为求解的关键是OC·OD，接着把问题中无关线段删减后简化为图3.连接OP，借助45°的条件，可证∠PCO=∠DPO，∠CPO=∠PDO，可得△PCO△DPO，则则OC·OD=OP2=18，则

顺便指出，如果着眼于直线PA、PB的解析式，并表示出点C、D的坐标，再代入面积关系式进行运算，也可以获得进展，只是“含参”运算的量会稍大一些.对于本题来说，也可以贯通思路.相比上面的几何思路来看，“算法简单的方法往往要付出逻辑思维的代价”.

再看第（3）问，设OA=a，OB=b，则AM=AH=3-a，BN=BH=3-b，可得AB=6-a-b，推出OA+OB+AB=6，可得a+b+，利用“基本不等式”（高中将系统学习，这里作为拓展提升，也可基于配方、变形引导学生理解）即可解决问题.

因为初中阶段并没有系统研究基本不等式，学生对基本不等式是“陌生的”.如果觉得使用“基本不等式”比较突然，要用这个思路方法，也可先带领学生验证一下“基本不等式”从何而来，其实只要使用配方法、完全平方式为非负式就可解释清楚.如，展开、移项并整理得a+b≥在此基础上续解问题a+b+，则△AOB的面积的最大值为

三、命题商榷

解后反思这道压轴题会发现，这道考题以反比例函数的图像（曲线）为背景命制，给人感觉貌似一道函数图像的综合题，然而，解后大家都能看到曲线的价值在第（1）问求出点P的坐标之后就提前“枯萎、死去”，后续两问与曲线及函数性质“毫不相关”，这是典型的“函数图像搭台，平面几何唱戏”，而且第（2）、（3）问之间缺少关联呼应，甚至第（3）问的本质

是以下一个“经典问题”：如图4，正方形ABCD中，点E、F分别在 边AD、CD上，且∠EBF=45°，则△DEF的周长为定值（正方形ABCD边长的两倍）；△DEF的面积存在最大值（当DE=DF，即点E、F关于BD对称时取得）.

图4

四、围绕考题的教学建议

1.理解考题结构，明辨难点本质

围绕考题开展解题教学之前，需要先深刻理解考题结构，并且基于学情明辨难点、关键步骤、易错点，以便追求对考题的深刻理解，为后续教学设计提供必要准备.比如，我们在上面给出图4，就是洞察问题的本质，想清这些对于讲评会有较好的作用.因为当学生有困惑不能排除干扰突出关键步骤时，我们可以进行无关线条的删减，转化和凸显关键图形的问题.

2.预设铺垫问题，跟进同类再练

在具体开展解题教学设计时，对于一些较难问题，要预设铺垫式问题，以帮助学生获得思路启示.比如，考题第（2）问的求解思路较多，可以考虑在不同思路启示之前设计一些简单的问题背景，让学生由这些简单的问题拾级而上，获得进展.在讲评之后，较难问题需要跟进同类问题或变式再练，以加深学生对相关问题的深刻理解.