小题大做，回归知识——以直角三角形的数形转换专题为例

☉江苏省常熟市白茆中学 张建亮

在中考即将到来的时候，初三的学生需要的是加压而奋进，一线的教师同样备有压力，做好中考备考引领是重要的.为此，备课组对成员精心分工，将备考专题进行了分解，在集体备课的基础上，要求每位同仁都整理分工专题的导学案.笔者所分专题是数形转换，在任务下达之后，笔者认真分析了2018年江苏各地中考试题，从字里行间搜寻出一些解题策略，编写进导学案中让学生自主探究，对这部分知识进行了再认知、再运用.

一、小题大做，让学生学会举一反三

在中考备考的后期，很多学校的做法都是让学生下题海.的确，题海战术能够让学生掌握一些解题技巧，领会一些做题方法.然而，丢掉课本，将基础知识抛到脑后，做题知其然而不知其所以然.为了让学生不忘初心，必须将专题融于教材知识，使学生学会举一反三.

在专题的“深入思考”部分，笔者选用了2018年江苏淮安的两道中考试题：

深入思考：题1：如图1，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若∠1=35°，则∠2的度数是_________.（笔者将选择题改为填空题）

图1

图2

思考：（1）图1中的∠2有同位角、内错角吗？∠2是哪一个三角形的外角？

（2）如图2，若∠1=40°，则∠2的度数是___________.

图3

题2：如图3，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6和8，则其周长是________.（笔者将选择题改为填空题）

思考：（1）菱形的定义是什么？对角线有什么关系？

（2）该菱形BC边上的高是______________.

（3）将这四个三角形用剪刀分开，然后重新拼接，证明对角线与边长的关系（即勾股定理的应用关系）.

创设目的：题1是让学生再次熟知同位角、内错角及三角形的外角的概念，题2是让学生再次回归课本厘清特殊的几何图形的定义，理解拼接方法在几何证明中的应用.同时通过变式训练，回归基础，从中获取数形转换思维方法的数学学科核心素养.

二、小题大做，让学生学会深入浅出

在备考中适当选择一些中考试题，可以帮助学生掌握试题难度，掌握知识的考向.可以选择一些试题作为引领的例题，通过课堂的讲解和变式训练进行数学建模.这种建模为下一步的小题15分钟做好铺垫.例题是这样规划的：

例题：（2018年扬州市中考题）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是（）.

图4

A.BC=EC B.EC=BE C.BC=BE D.AE=EC

试题变式为：①（题干同上）则下列结论一定成立的是（）.

A.∠BEC=∠EBC B.∠EBC=∠BCE

C.∠BEC=∠BCE D.∠ACE=∠EAC

②若∠A=40°，求∠BEC的值.

创设目的：让学生明确在三角形中“等边对等角”的意义就是一种数形转换的思维方法，在试题证明过程中需要思考的是相似三角形的对应角相等.让学生得出∠ACD=∠B，∠B的一半与∠A不一定相等是证明的关键点.可以采用直角三角形的锐角是特殊值的方法进行验证，但不能用特殊的∠A=30°处理；可以用特殊的∠A=45°处理，得出正确的答案.因此，小题大做并非是绝对的.

三、小题大做，让学生学会自学自强

中考数学备考一定会把考查数学逻辑推理能力作为首要任务，以数学基础知识为载体，以学生的缜密思维、严格推理考查核心素养.同时，通过数学文化渗透，体现数学的创造、发现和发展特点.因此，唯有通过有针对性的训练才能对数学思维方法进行总结、提炼，才能将数学学科核心素养潜移默化.为此，笔者在导学案的最后做了一个15分钟的检测.

练习1：已知：如图5，在Rt△XYZ中，∠XZY=90°，ZW⊥XY于点W，回答下列问题：

图5

（1）找出图中的相似三角形；

（2）求证：XZ2=XW·XY，YZ2=YW·XY；

（3）若XW=2，WY=8，求XZ、YZ、ZW；

（4）若XZ=6，YW=9，求XW、ZW、YZ；

（5）求证：XZ·YZ=XY·ZW.

练习2：如图6，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交CB于点F，且EG∥AB交BC于点G.

（1）找出图中的相似三角形.

（2）下列结论一定成立的是（）.

A.AE=EC B.EC=EF C.BG=BE D.CF=BG

写出证明过程.

图6

图7

练习3：如图7，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP⊥AB于点P，过点P作PQ⊥BC，△BPQ的边PQ上的中线BO的延长线交AC于点R.

（2）证明：点R平分线段AC；

（3）求证：AP·BP=CQ·CB；

（4）若AR=OR，求BO∶RO；

（5）在条件（4）下，若BC=17，求BD的长.

创设目的：练习1是基础题，是针对课堂所学习的概念进行检测的，有利于学生回归课本；练习2是中档题，让学生循序渐进，通过猜想与证明，找到一种发现数学规律的途径，也是对数学问题的质疑、发现和解疑的过程；练习3是拔高题，让学生在备考复习中不但掌握数学解题方法，更重要的是站高望远，这才是“小题大做”的真正意义.

总之，备考并非是只有那些拔高题和“大题”才能训练和形成学生的数学学科核心素养.只要教师多研究各地市的中考试卷，开阔思路、集体研讨，将众多的基础题、常规题中渗透数学思想方法，就一定能够培养学生的解题能力.学生在教师的正确引领下，抓住数学学科核心素养，教师下题海，学生驾轻舟.对于小题，从概念、公式入手，到认知题干、厘清方法，最终内化为自己的能力.另一方面，在平时的演练过程中提倡学生“小题小做”，可以采用猜想答案的特殊值法，可以是“投机取巧”，也可以是“避重就轻”.但是在课堂上必须培养学生的“小题大做”能力，尽量变式拓展，让学生自主发掘这些“小题”所蕴含的数学思想和方法，而不是为做题而备考，为应试而备考.只有这样，才能凸显数学的精髓，才能在做每一个题目时彰显数学学科核心素养.