从习题到问题：促进习题教学品质提升——基于习题改编的视角

☉江苏省无锡江阴实验中学 孟协军

研读《中学数学》（下），参考文献［1］～［3］都提及要让习题走向问题，并通过一些具体的案例生动、形象地解释了习题如何走向问题，怎样提升教学效益，并促进习题教学品质的提升，这类“接地气”“无标签”的“来自田野”的一线教师案例分析的文章读来受益颇多.受到启发，笔者结合最近一段时间以来教学过程中收集到的一些习题改编成问题的案例，谈谈习题如何走向问题，以及对促进习题教学的品质提升有怎样的作用.

一、习题走向问题的案例分享

案例1：一元一次方程的解法相关的习题讲评

习题：已知方程x-2=5，则x=____.

问题：请写出一个关于x的方程，使得方程的解为x=7（最好别让你的同桌一眼就看出这个解来），并在小组内解释你的设计意图.

改编解读：作为一道习题，只是训练了一个一元一次方程的解法，并且问题是一种封闭式呈现；而改编成问题之后，问题开放，训练目标也达成了，而且让学生多了一些参与问题设计的兴趣，也是促进学生思维被“卷入”问题的较高立意.

案例2：划船收费问题

习题：某公园划船项目收费标准如下：

表1

求：租两条四人船和一条六人船要多少租金？

问题：在以上收费标准（见表1）的基础上，某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，先独立分析租船的总费用最低多少元，并向你的小组成员解释租船方案.

改编解读：原来的设问只是小学里简单的计算问题，而改编成问题之后，就需要进行分析、计算、比较、优选，从习题走向问题之后，这个问题的训练价值得到充分提升和拓展.

案例3：相同价格卖出两件商品问题

习题：某商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%.求这两件衣服的成本价分别是多少元.

问题：“题干”不变，分析卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏，并说明理由.

改编解读：原来的习题只是封闭式计算，缺少对问题进行全面分析，并研判和决策，而后来改变设问之后，不但需要运算，而且需要进行分析、比较、决策、说理.事实上，教学过程中，还可以将问题表述中的数据一般化为一些参数，如卖出价为a元，其余不变，则分析的结果仍然是亏损的.

案例4：分式计算的纠错问题

习题：以下是某学生分式计算化简的步骤：

上面的计算步骤有错误吗？如果有错误，请指出哪一步出现错误，并订正.

问题：数学活动课上，老师设计了“接力游戏”，小组合作，完成分式化简.规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图1所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）.

A.只有乙 B.甲和丁 C.乙和丙 D.乙和丁

图1

改编解读：这题由2019年河北中考试题改编而来，该题虽然是一道选择题，但又不只是一道习题，而是达到了“问题”的功能，因为将这个习题包装在一个“接力游戏”中，学生需要逐个检验不同学生的运算.比如，发现乙在计算时，把1-x变换成x-1没有添加负号，导致错误；丁在计算时，正确的结果应该是所以乙和丁都出现了错误.这样的问题既达到了考查功能，也有问题价值，传递了学生要善于纠错与究错，并在小组合作中感受到每个成员的重要性.

案例5：角平分线的性质探究

习题：如图2，在△ABC中，AD是它的角平分线.求证：S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.

图2

图3

问题：如图2，在△ABC中，AD是它的角平分线.小成从面积公式的角度经过探究发现AB∶AC=BD∶CD.你觉得小成的发现是否有道理？说明理由.

改编解读：“习题”训练的作用主要是让学生“过点D分别作AB、AC的垂线，垂足分别为点E、F”（如图3），并利用面积公式得出S△ABD∶结合角平分线上的点到角的两边距离相等（DE=DF），可得S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.而改编成问题之后，学生需要深入研究，利用面积之比作为“中间量”，而将两个小三角形的面积“算两次”也很好地发挥了作用，成功解决这个问题有利于对三角形内角平分线的性质有更加丰富的理解.

案例6：勾股定理

习题：已知直角三角形，求证两条直角边平方之和等于斜边的平方.

问题：请独立探究直角三角形三边之间的数量关系.以小论文的方式呈现你的探究与发现.

改编解读：上面的习题只是证明勾股定理，并且该命题的题设与结论都是明确的，难度大大下降，这种习题的证明目标已明确，学生只需要贯通证明思路或路径；而改成问题之后，需要学生探究结论，就像鼓励学生研究并提出问题一样，训练的品质当然上了台阶.当然，这类问题是不宜作为平时课堂上的例、习题使用的，因为需要给足学生时间进行思考、研究、整理.

二、关于习题走向问题的进一步思考

1.从习题到问题，让习题教学品质大大提升

从习题到问题，一字之别，但却是教学理念、教学价值观的重要转变，因为从上面所举的一些案例能发现：习题并一定是问题.若我们把习题教学当作问题教学进行预设和研习，就使得我们的教学品质大大提升.在这里教学品质的内涵可能会有很多方面，但让一道习题的单一功能、相对封闭的研究价值更加丰富，让习题成为一个有价值的问题、开放的问题来驱动学程，促进师生对话.

2.从习题到问题，需要修炼命题专业基本功

从习题到问题，需要针对原有习题进行变式改编，这就需要教师修炼命题的专业基本功，教师需要学会一些常见的命题技术，如简单改编、条件与结论的置换、生长拓展等技术.在此基础上，由于改编成问题是为了教学需要，作为学程推进或预设追问来引导更多学生参与课堂，把学生思维卷入课堂问题中，所以不但需要对习题进行恰当地改编，还需要结合班情、学情进行一些可能的追问.

3.从习题到问题，让习题研究走向教学研究

从习题到问题，也是促进教师本身从习题的解法研究走向教学研究，前者相对“较窄”，而后者就比较宽广，因为让一道习题成为走入课堂的“学材”式问题，需要精心预设教学环节，进行追问与评价，并预设学生可能的解答、可能的错误或可能的障碍点，等等.也就是说，我们试图让习题教学走向问题驱动式的课堂教学，这样就能让学生不止于学习一道习题，而是通过学一道题的解法到全面深入研究一类问题.可以发现，要让学生有问题意识，或学会提问、善于提问，教师首先要有问题意识，明辨习题与问题的差别.这样，教学过程中才能适时改变习题的呈现形式，使得一些封闭式习题稍稍一变，成为一个有价值的问题，并以此驱动教学进程.