对一道几何综合题的阅卷记录与思考

☉江苏省扬州市邗江区黄珏学校 赵万兵

一次中考模考练习后，备课组采用“流水阅卷”，笔者承担的是一道几何综合题的阅卷任务，批阅几何综合题，虽然辛苦，但也增加了对这道几何综合题的深刻理解，特别是对一些典型错误有了更直接的记录.本文整理这道几何综合题的阅卷记录，并跟进教学思考，供分享.

一、几何综合题及思路突破

几何综合题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上一点O为圆心、OA长为半径的⊙O经过点B.

（1）求⊙O的半径；

（2）点P为弧AB的中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；

（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值.

图1

图2

解法概述：（1）如图2，连接OB.

由OA=OB，得∠ABO=∠A=30°.

由∠ACB=90°，∠A=30°，得∠ABC=60°.

则∠OBC=30°.

（2）如图2，连接OP.

由点P是弧AB的中点，得OP⊥AB，则∠QPO=∠A=30°.

二、阅卷记录与常见错误

错解1：审题不清.第（2）问中，条件“点P为弧AB的中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长”，很多学生将弧AB理解为线段AB，将点P取到线段AB上去，接下来的解答肯定就不符合题意了，导致失分.

错解2：对在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等这一概念理解不到位.比如，由于题目中有条件：点P为弧AB的中点，立即想到在同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等，直接就写出∠PCA=∠PCB，但这两个角并不是圆心角，因此后面的解答显然无意义.再有，在第（1）问的基础上，有很多学生结合题目中的∠ACB=90°这一条件，直接得到∠PCA=45°，从而得到tan∠PCA=tan45°=1.

错解3：错将∠PCA理解为圆周角.比如，在第（1）问的基础上，很多学生求出∠AOB=120°，这时候看到条件“点P为弧AB的中点”，得到弧AP的度数是60°，直接就写出∠PCA=30°，所以就有了错误的结果tan∠PCA=tan30°

错解4：误认为OC是半径.在第（1）问的求解中，有很多考生在求出线段CO后，直接认为半径为

错解5：对含30°角的直角三角形三边之间的关系运用不熟练.

在第（1）问的求解中，很多考生求出△ABC是有一个角是30°的直角三角形，其中∠CAB=30°，∠ACB=90°，边BC=1，立即得到边AC=2，设OC=x，AO=2-x，AO=BO，则（2-x）2=x2+1，解得x=.很显然是没有理解“30°角所对的直角边是斜边的一半”这一性质.

阅后感：平时的教学中，要注意加强学生解题后的反思，看看自己所做的答案是否符合题意.像这样的错误，只要学生能做到稍微反思一下自己的解答与题目中的条件，就会很快发现自己的解答是有问题的，不至于出现这样啼笑皆非的解答.

错解6：运算不过关.

错解7：错用垂径定理.

由点P为弧AB的中点，得PC⊥AB，而这里点P不是圆心，故没有这样的结论.

错解8：对三角函的概念理解不清.

错解9：瞎做一通.

由点P是弧AB的中点，得AQ=OQ（乱做一通，没有任何依据）.由AO=，得AQ=OQ=.（结果也不约分）在没有任何依据的条件下想当然地直接写出了四边形PBCQ是一个正方形.

阅卷随感：这是一道作图加解答的几何题，题目新颖，一改以前将一个完整的题目呈现在学生面前，需要考生认真读题，并按照题目的要求作出相应正确的图形，然后才能解出正确答案，考查了学生的动手作图能力，也引导教师在平时的教学中要注重让学生多动手，不能越俎代庖，剥夺学生的实际操作训练.在正确解题过程中，也发现一些学生的思维能力比较强，会巧妙利用平时学习过程中探究的一些结论，比如，含30°角的直角三角形的性质，顶角为120°的等腰三角形的性质，在解题的过程中能起到事半功倍的效果，虽然这些不是课本上直接出现的结论，但是阅卷组的老师们认为这些考生平时学习认真，敢于探究，建议不扣分，鼓励学生认真学习，敢于探索，让他们在平时的学习中有成就感.

三、由阅卷引发的教学思考

1.平时解题教学要多展示“一般学生”的解法

平时解题教学过程中，因为教学进度或教学内容的原因，我们往往过多地安排优秀学生讲解、互动，或拿优秀学生的解法直接投影，让其余学生核对、记录答案，一般学生的不当解法往往被“遮盖”、隐藏、无视，这样教师自我感觉良好，教学任务完成了，但是经常在考试之后发出一些感叹“我都讲过几遍了，你们怎么还是错的”.结合这次阅卷所见，学生以上一些低级失误、错误，也许本来就存在，只是在平时课堂教学、解题教学过程中，被我们无视，这也就启发示我们在平时解题教学过程中，要多多展示“一般学生”的解法，不能为了赶进度、多讲题而隐藏他们的错误.

2.利用错误的生成性资源组织学生参与诊评

当我们重视“一般学生”的解法展示之后，就会有很多错误的生成性资源出现，这时教师要组织学生参与进来，让学生一起阅读、参与评价这些“不良解法”，并安排优秀学生参与纠错与究错，这样既能帮助“一般学生”修正错漏，又让优秀学生站在高处审视、评价他人的错漏，也是一次难得的能力提升.著名特级教师华应龙老师近年来倡导的“化错教育”正是重视课堂上一些错误资源的教学运用，这也是值得我们在初中数学课堂教学（特别是解题教学）中积极尝试的.如上文阅卷记录所见，如果我们平时忽视学生可能的错漏解法，他们就可能在独立答题的考场反复上演这些“无奈的错误”.

3.几何综合题要重视规范而简洁的语句组织

从我们在阅卷过程中所见，错误类型中有很多是因为几何推理语句的组织不当，推证或演算过程不规范，缺步、跳步解答普遍存在，这也对几何教学提出了较高的要求.事实上，根据平面几何教学经验，有些中等学生往往也能很快贯通思路，但是写成的几何语句缺步、跳步，或想当然地人为添加了一些条件，使得阅卷过程中对这类学生的评价非常麻烦，如果认定他们“高位错漏”就会造成“扣大分”，如果判定他们是“笔误”式的少写一步、跳步解答，则可判为“不扣分”或“扣小分”，相信这样的纠结很多阅卷老师都有同感.这也启示我们，几何解题语句的教学仍有待加强，让学生在思路贯通之后先打草稿，然后精心组织语句的先后顺序，审查有没有跳步、漏写推理关键步骤之处，这样再写到答题区域，养成习惯，坚持训练一段时间之后，也许几何解题步骤或语句组织方面的能力就能得到相应的提升.