关注隐性课程资源中数学思想方法的运用*——“分类讨论思想运用专题复习”设计与思考

☉江苏省无锡市江南中学 高峰官

进入中考二轮复习，不少教师会重视和加强数学专题的复习与研讨，而数学思想方法的运用是中考复习中的重要内容.分类讨论思想贯穿于整个中学数学学习的全部内容中.初中数学主要有四大模块：数与代数、概率与统计、几何与图形、实践与综合.每一模块的学习都与分类讨论思想有着密切的联系.笔者围绕分类讨论法的运用，结合四大模块的学习，开设了一节专题研讨课，取得较好的教学效果.

一、教学设计

模块1：数与代数与分类讨论

初中数学中，较早运用分类讨论思想的就是绝对值的概念及运用.

例1化简：y=|x-1|+|x-2|.

例2已知方程（a+2）x2-x-3=0有解，求a的取值范围.

例3已知函数y=kx+b，若1≤x≤3时，有4≤y≤6，求函数的表达式.

例4（2018年无锡中考）一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为其准备了2600kg这种水果，已知水果店每售出1kg该水果可获利润10元，未售出的部分每千克将亏损6元.以x（单位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y（单位：元）表示水果店销售这批水果所获得的利润.

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）问：当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元？

模块2：概率与统计与分类讨论

例1一只不透明布袋中有大小、形状完全相同，只有颜色不同的红球2只，白球3只，现从中摸出1球，记下颜色后放回，再从中摸出1只球，求两次都是红球的概率.

你还可以提出什么问题？

变式：若从中摸出1球，记下颜色后不放回，再从中摸出1只，求两次都是红球的概率.

此问题也相当于：若一次性从中摸出两球，求两球均为红球的概率.

例2某厂生产A、B两种产品.其单价随市场变化而做相应调整.营销人员统计出前三次单价变化的情况，

表1 A、B产品单价变化统计表

现该厂决定第四次调价，A 产品的单价仍为6.5 元/件，B 产品的单价比3 元/件上调m%（m＞0），使得A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1.求m的值.

模块3：几何与图形与分类讨论

几何与图形中运用分类讨论思想的内容也很多，给我们印象最深的是圆周角定理的证明.证明分三种情形讨论：（1）圆心在圆周角一条边上，（2）圆心在圆周角的内部，（3）圆心在圆周角的外部.第二种与第三种情形又可化为第一种情形去解决.定理的证明过程很好地体现了分类讨论和化归的数学思想方法，让我们体会到分类的标准要统一，做到不重复、不遗漏.

例1如图1，线段OA的一端点O在直线a上，OA与a不垂直，以OA为一边画等腰三角形，并且另一点P也在a上，则这样的点P有（）个.

图1

例2（2008年无锡数学中考）已知一三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°.

（1）请借助图2，先画出一个满足题设条件的三角形；

（2）满足条件的互不全等的三角形共有多少个？

（友情提醒：标出已知角的度数和已知边的长度）

图2

图3

模块4：实践与综合与分类讨论

例1如图3，正方形的边长为3cm，现有一腰长为4cm的等腰直角△ABC以1厘米/秒的速度沿直线l向正方形移动，设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ycm2.请写出y与x的函数关系式.

经师生共同探讨，运动过程可以分解如下：

图4

图5

图6

图7

图8

图9

图10

图11

图12

图13

结合以上图形运动，本题分成以下五种情形加以讨论：0≤x≤3，3＜x≤4，4＜x≤6，6＜x≤7，x＞7.

在小结时教师需强调：要找好分界点，分类要全面，不重复，不遗漏.要引导学生认识到：图形运动问题已成为数学学习和中考的热点，如何演示和分解运动的全过程，往往成为引导学生思考、解决问题的关键所在.在此案例中，就是通过分解整个图形运动过程，帮助学生寻找图形运动的分界点，从而确定时间的分段区间，引导学生正确分类讨论.

例2（2007年无锡中考题）已知：在△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的数量关系.

在此案例中，教师应引导学生分层次分类讨论，做到层次清晰：

图14

图15

图16

二、教学设计思考与教学反思

1.正确认识和运用分类讨论思想方法.

数学思想往往蕴含在数学知识中，揭示了深层次的数学本质，是数学学习的灵魂与精髓，也是重要的数学隐性课程资源.正如日本著名数学教育家米山国藏所言，在学校学的数学知识，毕业后若没机会运用，一两年后，很快就忘了.然而不管他们从事什么工作，唯有深深铭记在心中的数学的精神、思维方法、研究方法、看问题的着眼点，却随地随地发生作用，使他们终生受益.初中数学涉及的数学思想方法主要有函数与方程、数形结合、分类讨论、化归、类比联想、数学模型等.其中，分类讨论是常用的思想方法，能优化学生思维、提高学生解题能力，也是历年数学中考命题的热点和难点，特别是体现在综合探究题型中.本节课专题探讨分类讨论思想在数学学习中的运用.

所谓分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想.分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论从而解决问题的一种数学方法.

分类讨论思想，贯穿于整个中学数学学习的全部内容中.初中数学主要有四大模块：数与代数，概率与统计，几何与图形，实践与综合.分类讨论与每个数学模块的学习都有着密切联系.

分类讨论思想和其他数学思想方法的学习方式一样，往往需经历三个过程，一是渗透和了解，二是理解和运用，三是拓展和融通.这三个过程不是一蹴而就、持续'上升的，而是要结合具体的学习内容、学习情境和过程体验螺旋式上升的.

分类讨论的正确运用，需要遵循以下三个基本原则：

（1）标准必须统一，否则会导致逻辑混乱，各个分类没有公共部分，否则会造成重复讨论；

（2）分类必须是全面而完整的，否则会有所遗漏；

（3）对于需要多级讨论的，必须逐级进行，不能出现越级讨论的现象，否则会导致层次不清，乃至错误.

此外，在确保正确的基础上尽量减少分类，使问题解决过程简洁化.

分类讨论既是一种重要的数学思想、一种逻辑方法，也是一种重要的解题策略.它体现了化整为零、积零为整的数学思想与归类整理的方法.它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生归纳知识，使知识条理化，有助于完善学生的认知结构.

2.注重教学环节的整体设计

本节课围绕分类讨论方法这一主线，有机地将初中数学的四大模块知识与分类讨论思想巧妙结合起来，从而加深学生对分类讨论思想方法的深层认识和熟练拓展运用.

作为一节专题复习课，构思精巧，结构完整：数与代数与分类讨论，概率与统计与分类讨论，几何与图形与分类讨论，实践与综合与分类讨论，课堂教学体现了整体设计的思想.在平时分章节的教学中，分类讨论思想方法的运用时有出现，但较为零散，给学生的印象并不深.本节课试图通过分类讨论思想方法这条主线，将零散分布在各章节中的讨论问题像珍珠一样串联起来，形成一个整体.通过典型的例、习题分析，挖掘和展现四大模块与分类讨论的内在联系，结合师生间的协作与互动、探究与生成，形成一个可以让我们归类与总结、回味与深思的数学课程资源，从而拓宽学生的数学视野，形成整体的数学学习观.

3.关注数学隐性课程资源的开发与利用

数学思想方法、数学美和数学精神等都是数学知识中的文化元素，是数学隐性课程资源中的重要来源.数学教学的生命力在于课堂师生间的灵动与教学资源的生成.2016年2月，笔者所申报的课题“初中数学隐性课程资源开发与利用的实践研究”正式立项为江苏省“十三五”教育科学规划课题.课题组已开展了一系列的教学研究活动.就数学思想方法这一隐性课程资源而言，笔者已经开设了两节公开课“化归与圆相关的最值问题”“数学思想方法与作图解决数学问题”，取得了较好的教学效果.为将课题研究内容落到课堂教学实处，课题组选择围绕数学思想方法这一主题，进行分类讨论思想专题教学研讨，意在将隐性课程资源的开发与利用的研究通过课堂教研推向深入.

（1）引起学生对隐性课程资源的关注.

通过这节课，引导学生平时做有心人，学会和善于做题型整理和资源积累.我们可以让学生准备一两个专用笔记本，把相关的典型问题做一归类，便于举一反三，触类旁通.归类的方式有很多，可以是知识点归类，可以是思想方法归类，可以是专题探讨归类，也可以是初中和高中内容衔接归类，还可以是数学与其他学科的融通归类等.经常做这样的整理，学生研究的问题就不再是零碎的，而是可以充实学生的数学认知结构、提升学生数学素养的隐性课程资源，从而促进学生的有效学习.

（2）引起教师对隐性课程资源探讨的重视.

通过本节研讨，让广大数学教师认识到，数学隐性课程资源是大量存在的，是可以开发与利用的.在教学中，有很多优质课程资源可以挖掘，这就需要我们做有心人.教师要像寻宝人一样，不仅要做题，还要学会选题，学会归纳、综合与分析.在平时教研中，要增强对隐性课程资源的开发意识，多建立一些数学文件夹，把相关联的数学问题加以归类整理，如将军饮马问题，这些问题通常散落在正方形、圆、二次函数等章节中学习，我们不妨加以归类整理，并认识到这类问题的解题核心是利用图形的轴对称性，运用两点之间线段最短，或三角形两边之和大于第三边的知识来解决.教师要在整理题型的同时，多加反思，归纳解决这类问题所蕴含的知识要点和数学思想方法.每年各地区的中考压轴题中都有分类讨论思想方法的体现，我们不妨加以归类、整理，从而形成隐性课程资源，便于师生专题深入探讨.

（3）引发课题组对隐性课程资源研究的热情与深入.

通过本节课的探讨，让课题组成员对课题的研究前景充满信心，对课题的研究内容、实践方向做到心中有底，目标清晰，结合平时备课与教学进行行动研究，从而推进本课题的深入研究.通过本次研讨，我们也希望参与此次研讨的老师带动所在学校的老师共同关注这一课题的研究.基于此，本课题组对前来听课的老师进行了一次关于数学隐性课程资源的开发与利用的问卷调查，目的在于让老师们对这一课题的研究有一个初步了解，从而认识到隐性课程资源开发的必要性和可行性，在教学中有意识加强对数学思想方法这类隐性课程资源的重视、积累、开发与利用.

总之，在数学教学中，我们要善于将数学思想方法与数学学习内容有机融合起来，从而开拓学生的数学视野，优化学生的数学思维，提高学生分析和解决问题的能力.