“点和圆的位置关系”教学设计与立意阐释

☉甘肃省天水市麦积区元龙中学 郭德成

近日，在一次市级教学研讨活动中，笔者有幸聆听了一节“点和圆的位置关系”的公开课，这是比较难上的一节课，感觉授课教师对教材的处理和学情的把握比较到位，教学环节设计合适，过渡自然，听后受益匪浅.下面给出其教学设计简述，并根据执教教师上课后说课情况及个人的教学实践，对其教学立意进行简单阐释，不当之处，敬请指正.

一、教学内容

人教版初中数学九年级上册第24章“圆”第二节的第1课时“点和圆的位置关系”.

二、教学目标

（1）理解并掌握点和圆的位置关系、三角形的外接圆及外心等有关概念；

（2）通过探究学习，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法；

（3）通过学习，进一步掌握数形结合、分类讨论的数学思想.

三、过程简述

1.点和圆的位置关系

通过学生在操场上“掷球”的小视频创设情境，引入新课，然后引导学生自行阅读教材相关内容，完成自学填空和巩固练习部分.

（1）自学填空：

设⊙O的半径为r，平面内任意一点P到圆心O的距离OP=d，若点P在⊙O外，则______；若点P在⊙O上，则______；若点P在⊙O内，则______.

（2）巩固练习1：

已知⊙O的半径r=5，若点A在⊙O上，则线段OA_____；若点B在⊙O外，则线段OB______；若线段OC=4，则点C在⊙O______；若线段OD=6，则点D在⊙O______；若线段OE＞6，则点E在⊙O______.

教学说明：兴趣是有效学习的开端.开课之初，以小视频的形式将学生熟悉的“掷球”游戏呈现出来，意在调动学生学习的积极性和主动性；根据学段特点，结合学生在第一学段掌握的相关知识，在小视频的引导下，对于“点和圆的位置关系”这一知识点的学习，组织学生通过自学填空和巩固练习的形式完成，切实贴近学生的“最近发展区”，实现“跳一跳摘桃子”的预期效果.

2.过三点的圆

（1）过三点的圆.

探究1：请尝试在作图1中，过任意一点A作⊙O，并回答：

①如何确定圆心？如何确定半径？

②这样的圆可以作几个？

③你能得出什么结论？

探究2：请尝试在作图2中，过任意两点A、B作⊙O，并回答：

①如何确定圆心？如何确定半径？

②这样的圆可以作几个？

③你能得出什么结论？

探究3：请尝试在作图3中，过任意三点A、B、C作⊙O，并回答：

①与前两个探究有什么不同？

②你能提出什么问题？

③你能得出什么结论？

图1

图2

图3

教学说明：三个探究环节层层深入，逐层推进，指向了本节课教学的重点和难点.从“过一个点作圆”到“过两个点作圆”，再到“过三个点作圆（分两种情况）”，为学生铺路搭桥，构建了学生探究问题的思路和方法，为学生顺利解决问题打下了坚实的基础.探究1和探究2模式一致，思路简单，学生在三个问题的引领下可以获得圆心在哪里、半径如何确定等两个关键问题，为探究3搭建脚手架，引导学生在指出探究1和探究2不同的基础上，提出新的问题，并获得新的结论，帮助学生学会学习.

（2）三角形的外接圆及三角形的外心.

教学说明：在上述探究3的基础上，得出三角形的外接圆和三角形的外心两个概念，并得出“外心↔到三角形三个顶点的距离相等↔三角形三边垂直平分线的交点”这一知识串，为学生在圆与三角形之间相互转化做好铺垫.

（3）反证法.

教学说明：根据课标要求、实际教学情况（时间限制）及学生的认知情况，将证明方法以微课的形式呈现，便于学生课下多次观看，进而加深学生对反证法的理解.

巩固练习2：如图4，点A、B、C表示三个村庄，现要建一个水泵站，向三个村庄送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？并说明理由.

图4

3.课堂小结

通过今天的学习，你都学会了……

教学说明：看似简单、老套的课堂小结的提问方式，在执教教师一次次的追问下，引领学生触及了知识的本质，实现了课堂教学小结的目的，达到了预期的教学效果.

4.随堂检测

（1）⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在______，点B在______，点C在______.

（2）正方形ABCD的边长为1cm，以点A为圆心、1.2cm为半径作⊙A，则点C（ ）.

A.在⊙A上 B.在⊙A内

C.在⊙A外 D.无法判断

教学说明：随堂检测环节限时独立完成，然后统一订正答案，对照答案用红笔改错，对于错题以“兵教兵”的形式解决.

5.布置作业

必做：教材P95第1～3题；

选做：探究思考：

（1）三角形的外心是否一定在三角形内部？

（2）过平面内任意四点是否一定可以作圆？

教学说明：作业由必做题和选做题两部分组成，意在对不同的学生提出不同的要求，面向全体，使不同的学生在数学上得到不同的发展.同时选做部分的第（1）题加深学生对相关知识的理解，为钝角三角形、直角三角形的外心学习打下基础；第（2）题则指向下节课即将要学习的“四点共圆”问题，实现课堂教学的承前启后，引导学生做好课下预习.

四、立意阐释

1.几何作图：几何教学的“着力点”

通过上面的介绍可以看出，本节课的关键部分是由“三个探究”环节组成的，三个问题指向明确，层层深入，在完成知识探究的同时，引导学生自行画图，并通过多次尝试，最终得出相应的图形和相关结论.这样设计，主要是为了增强学生的动手实践能力和画图能力，与课标的要求实现对接.同时，随着课改的不断深入，以及人们对课标的进一步认识，越来越多的画图（不仅限于“尺规作图”）题目进入了中考，比如，2019年北京市中考试卷中的几何综合题，就需要学生亲自动手画图，而对于相关问题的解决则比较简单，这是一种新的命题趋势，应该引起一线教师的足够重视.

2.几点共圆：几何研究的“重头戏”

日本数学教育家米山国藏曾经说过：“学生们在学校所学的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了.然而不管他们从事什么职业，那种铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时地发生作用，使他们受用终身.”因此本节课在教给学生相关知识的同时，重在教给学生研究问题的思路和解决问题的方法，比如，三个探究环节从“过一个点作圆”到“过两个点作圆”，再到“过三个点作圆”，再到作业布置环节以选做题的形式引导学生思考“四点共圆”问题，为学生呈现了一种研究问题的基本思路和方法，为学生以后解决类似问题打下了坚实的基础.