基于数学史视角的“完全平方公式”教学设计

肖敬 隆广庆 李碧荣

【摘要】本文阐述基于数学史的“完全平方公式”的教学设计，通过《九章算术》中的问题导入，让学生在情境中动手操作探究完全平方公式的定义，以生活中的问题引出公式的证明并渗透《几何原本》的相关内容，培养学生严谨的推理能力和钻研精神。

【关键词】完全平方公式 数学史 教学设计

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2019）07A-0085-04

“完全平方公式”是整式的乘法以及平方差公式的延伸，是后面学习因式分解、配方法的铺垫。笔者在设计“完全平方公式”的教学时，一方面融入了完全平方公式的数学史，既有利于学生了解完全平方公式的背景，又激发学生对数学的学习兴趣;另一方面，通过具体情境，让学生成为学习的主人，自主合作探究公式，既有利于学生理解完全平方公式，发展学生数学建模和应用意识，又能够培养学生严谨的推理能力。

一、教材分析

本节课的内容来自人教版数学八年级上册第十四章，是学生学习了整式的乘法以及平方差公式后的延伸，为将来学习因式分解、配方法铺垫，有利于培养学生严谨的推理能力和钻研精神，所以本节课的内容在中学数学中有着广泛的应用。

二、学情分析

在本节课之前，学生已经掌握了整式的乘法运算以及平方差公式，初步具备了归纳总结能力。中学生的数学思维能力不够严谨，可能会忽略公式中字母的结构特征以及含义。但中学生有比较强的好奇心以及求知欲，教师在教学中能够根据学生的这一特点，把课堂交给学生，充分调动学生参与课堂的主动性，让学生自主探究，对公式进行推导论证，自主探究公式的结构特征，理解公式中字母的含义。

三、教学目标

知识与技能目标：了解完全平方公式背景，能正确理解完全平方公式，能正确运用公式进行简单计算。

过程与方法目标：通过数学史和具体情境探索发现完全平方公式，发展学生数学建模和应用意识;在对完全平方公式进行推导论证和应用的过程中，体会数形结合的思想方法。

情感态度价值观目标：体验运用完全平方公式简化运算的过程，发展学生的代数符号感;体验数学史的融入，激发学生数学学习兴趣;在自主探究合作交流的学习过程中，增强学生学习数学的自信心。

四、教学重难点及解决措施

教学重点：完全平方公式的发现和推导过程、公式的本质、公式的应用。

教学难点：公式中字母的含义。

解决措施：在处理教学重点时，首先以数学史引入，然后由浅入深，层层递进，采用数形结合的方法，让学生从数和形两个角度推导得到完全平方公式，然后以数学史呼应，强调公式的结构特征;在处理教学难点时，注意引导学生理解公式中的字母不仅可以表示数，还可以表示单项式和多项式，再辅以练习加以强化。

五、教学过程设计

（一）创设情境，引入主题

1.情境一

师：我们已经知道一个正方形的面积为55225，如果没有计算器，我们能不能快速求得边长呢？

（预设学生觉得很难算出来）

师：我们要求正方形的边长，也就是求[55225]的值。因为300[2]>55225>200[2]，所以[55225]的百位数字是2;所以就有55225=（200+x）[2]=40000+400x+x[2]，可以知道400x<15225，則有[55225]的十位数字是3;于是55225=（230+y）[2]=52900+460y+y[2]，而460y<2325，所以y=5;而刚好发现2325=460×5+5[2]，所以就得出了[55225=235]。其实这个问题是《九章算术》中的一个问题，我们中国古代的数学家刘徽运用了“位值估计”的算法很快解答出来了，并用到了下面的表格，或许有同学还不理解这解法，没关系，经过我们下面的学习，相信同学们会和我们古代数学家刘徽一样的聪明。

2.情境二

师：刚才的正方形的面积太大，同学们不会算，现在这些面积小的正方形看看同学们会不会算。（1）边长为多少的正方形的面积为4？（2）边长为多少的正方形的面积为9？（3）边长为多少的正方形的面积为5？

学生对于第（3）问的回答可能会不一样，但学生可能会发现第（3）问中的边长是介于2和3之间，然后教师引导学生设第（3）问中的边长为（2+x）或者（3-x）。学生懂得设边长之后，可以进一步列出方程（2+x）[2]=5或（3-x）[2]=5，教师引导学生思考方程左边的代数式到底是什么，这就是本节课要探寻的秘密。

设计意图：结合数学史创设情境引入，古代的数学家可以将问题解答出来，但自己却不明白，激起了学生的好奇心和求知欲，制造悬念;在情境二中设置问题串，让学生有一定的成就感，有利于激起学生探究的主观能动性，这是数学知识发生发展的原过程，同时也是学生对数学知识的认识过程。

（二）动手操作，探究问题

1.引导学生用多项式乘法的计算法则算出（2+x）[2]的值。

2.计算下列多项式的积。

a.（p+1）[2]=（p+1）（p+1）=

b.（m+2）[2]=

c.（p-1）[2]=

d.（m-2）[2]=

设计意图：计算多项式的平方，可以看成计算两个相同的多项式相乘，一方面引导学生复习了旧知识，另一方面为下面学习完全平方公式铺垫，让学生在学习中体会从一般到特殊的思想，从而引出乘法公式——完全平方公式。

3.让学生观察刚才计算的式子，回答下列问题。

a.等号的左边都有什么相同特点？

b.计算出的结果有相似之处吗？

c.你有什么发现，可以用字母表示吗？

设计意图：根据“最近发展区”理论，在已具有前面知识的基础上，让学生自己去观察，探索具有一定形式特征的多项式乘法——完全平方公式，这样的过渡显得自然、合理，同时也是把课堂交给学生，体现学生的主体地位。通过由浅入深、循序渐进的“计算与观察”任务，一方面满足了不同学生的学习发展需要，另一方面有利于引导学生自主实践探究，积极地开展思维活动，寻求算式两边的左右联系，获得“发现”，找到“完全平方式的结构特征”。

4.学生能够大概概括出以上式子的结构特征：

（a+b）[2]=a[2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2]

（a-b）[2=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2]

教师带领学生用同样的字母复述刚才的式子，以证实学生猜想的结构特征是正确的，并表明这就是本节课的主角“完全平方公式”。

教师板书课题“完全平方公式”，写下完全平方公式的两个数学表达式：

（a+b）[2]=a[2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2]

（a-b）[2=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2]

设计意图：在这里把课题引出，又激起了学生的思考，“这公式和刚才数学家的解答有联系吗”，引起学生继续探究数学知识的热情。

5.教师引导学生观察公式的左右两边，带领学生复述公式，探究两个公式相同的结构特点，给完全平方公式下一个确切的定义。

a.公式的左边是两个数的和（或差）的平方;

b.公式的右边的两个平方项的符号相同，中间项是两项乘积的2倍，并且中间项符号要看左边两项之间的符号。

教师板书：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

设计意图：师生一起观察公式，用语言复述公式，探究公式的结构特点，有利于加深学生对公式的表层理解，结构特征不会变，字母是可以变化的，能够让学生积极思考，真正去探寻公式的本质特征，理解公式的内涵，同时发挥了学生的主观能动性，让学生真正参与到课堂的思考学习中。

（三）推理论证，概括结论

1.教师抛出问题：下面的图1中的①是王叔叔在“科技下鄉”活动中边长为a米的正方形试验田，王叔叔有信心大胆一试，所以他现在想把试验田的边长增加b米;如图所示，图2的大正方形是李叔叔在“科技下乡”活动中边长为a米的正方形试验田，但是他担心收益不好，所以他想把试验田的边长缩短b米，成为如图2中①所示的图形。请同学们分小组讨论，用不同的方式来表示王叔叔和李叔叔调整后的试验田的面积，待会请小组代表展示成果。

2.让学生观察所写出来的两个试验田面积的不同表示方法，说说有什么发现。

猜测：学生观察发现所写出来的两种面积的表示方法的结构特征正符合刚才所学的完全平方公式。

设计意图：数学来源于生活，又服务于生活，以“试验田”的生活情境为出发点，让学生有熟悉感，通过有实际意义的问题吸引学生的注意力，让学生积极主动参与课堂的学习探究。在小组谈论探索的过程中发现完全平方公式，符合建构主义的教学方法，学生自主发现知识、学习知识、掌握知识。

3.古希腊时期的完全平方公式

师：其实，在《几何原本》有记载，如果任意两分一条线段，则在整个线段上的正方形等于各个小线段上的正方形的和加上由两个小线段构成的矩形的二倍。这实际上是对完全平方公式的抽象，是古希腊数学家欧几里得首次抽象出来并以几何命题的形式出现的。

设计意图：通过计算试验田的面积，经过“数形结合”的推理论证，学生对于完全平方公式的几何论证有了一定的理解，再一次提起刚才古代数学家的小故事，引入古希腊数学家对完全平方公式的记载，前后两次数学史相呼应，再次引起学生的学习热情，强调公式的结构特征，让学生敬佩古人的智慧，感悟数学家的数学思维，有利于培养学生的反思能力，深刻了解数学史发展的客观规律。

4.师：从数学的角度来看，试验田就是一个几何图形，刚刚我们推导了几何图形的面积，而这两块试验田调整后的两种面积表示方法刚好符合完全平方公式，也就是说，我们从几何方面论证了完全平方公式。大家思考一下，这里的a、b可以表示什么呢？

教师和学生再次观察完全平方公式，总结归纳公式特征：乘积是二次三项式，积中首尾两项为两数的平方和，中间一项是两数积的2倍，且乘积的符号与两项符号有关——同号为加、异号为减，公式中的字母a、b可以表示数、单项式或多项式。

师：同学们有没有一个比较好的记忆完全平方公式的方法呢？

教师引导学生归纳完全平方公式的记忆口诀：“首平方，尾平方，积的两倍放中央，积的符号看前方。”

设计意图：先让学生归纳记忆方法，接着教师归纳总结，学生可以进一步理解公式，这时候强调公式中字母a、b表示的意义——可以表示数、单项式或多项式，让学生意识到字母的可变性和公式结构的不变性，让知识得到进一步的深化。

（四）巩固练习，变式训练

例 运用完全平方公式计算。

（1）（4m+n）[2]

解：（4m+n）[2]=（4m）[2]+2·（4m）·n+n[2]

=16m[2+8mn+n2]

（2）99[2]

解：99[2]=（100-1）[2]=100[2]-2×100×1+1[2]

=10000-200+1

=9801

练习1：运用完全平方公式计算。

（1）（x-2y）[2]  （2）102[2]  （3）（x+6）[2]

（4）（-2x+5）[2] （5）（y-[12]）[2] （6）（-3m-5n）[2]

思考：①（a+b）[2]与（-a-b）[2]相等吗？

②（a-b）[2]与（b-a）[2]相等吗？

③（a-b）[2]与a[2]-b[2]相等吗？

设计意图：练习题的设置由浅入深，让每个学生能够感受到学有所成，感受到数学学习的乐趣。习题的设置，套用公式，突出公式中的字母a、b可以表示数、单项式以及多项式，有利于突破教学难点。思考问题的提出，有利于培养学生严谨的推理能力和钻研精神。

（五）课堂小结，温故知新

1.今天你學习到了哪些知识？

2.通过本节课的学习，你体会到什么数学思想方法？

3.完全平方公式的结构特征是什么？

（a+b）[2=a2+2ab+b2]

（a-b）[2=a2-2ab+b2]

记忆口诀：首平方，尾平方，积的两倍放中央，积的符号看前方。

4.你能快速解决情境一的问题吗？

（六）布置作业，走进生活

1.书本P110练习题第1、2题。

2.以“大家好，我是完全平方公式”为开头，根据本节课的学习内容，写一段关于完全平方公式的自述和应用。

六、板书设计

【参考文献】

[1]李雨萌.初中数学教学设计中学情分析的研究[D].沈阳师范大学，2017

[2]栗小妮，沈中宇.“完全平方公式”：从历史中找动因、看形式[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（3）

[3]张亚琦，汪晓勤.乘法公式：从历史到课堂[J].中学数学月刊，2018（4）

[4]张俊忠.数学史融入初中数学教育研究[M].贵阳：贵州大学出版社，2017

[5]彬彬.数学史在中学数学教学中的利用[D].呼和浩特：内蒙古师范大学，2005

[6]罗永清.《平方差公式》教学设计[J].中小学教学研究，2011（12）

[7]徐强.学材再建构，从教程走向学程——以“完全平方公式（第一课时）”学程设计为例[J].数学教学通讯，2017（5）

注：本文系广西教育科学“十三五”规划课题“高中数学课堂教学改革实验研究”（编号：2016ZJY002）、广西研究生教育创新计划项目“多学科交叉融合环境下以问题为驱动的数学专业研究生培养改革研究”（编号：JGY2017086）以及广西高等教育本科教学改革工程项目“计算传播学视域下数据科学、统计学与新闻学跨科复合型人才培养的教改革与实践”（编号：2019JGA227）的研究成果。

作者简介：肖敬（1995— ），女，广东茂名人，硕士研究生，研究方向：数学学科教学。

隆广庆（1974— ），男，广西南宁人，教授，博士研究生，博士生导师，研究方向：计算数学。

李碧荣（1964— ），女，广西南宁人，副教授，研究方向：数学教学研究。

（责编 刘小瑗）