反证法应用之我见
2019-10-23李林
李林
摘 要 在空間线面关系中，异面关系及线面关系的证明有时从已知或定理?定义出发进行推理论证比较困难，学生对证明切入点的探寻也是非常困惑?如何有效解决这个问题？利用反证法就能起到四两拨千斤的效果?
关键词 异面直线;线面关系;反证法
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2019）20-0168-01
反证法在各种测试题中应用已经很少，在教科书中也仅仅是一言带过，应用举例更是少得可怜。但这并没有影响它对相应抽象题型的独到论述与解析。牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。用常规思维由“因”索“果”比较困难、复杂的情况下，利用反证法是最好的选择。在空间线面解题中经常使用反证法，解决异面直线、线面平行问题，根据实际情况巧用反证法通常能起到事半功倍的效果。
反证法的基本思想是假设结论的反面成立，经过合理的推导、论证导出一个矛盾问题。这个矛盾可能是与已知条件、概念、定理、公理矛盾或自相矛盾。矛盾的原因是由假设造成的，说明假设错误，则原结论成立，有时结论的反面不是一种情况，需要一一驳倒，才能说明原结论成立。一般用来证明正面难以入手的题目。反证法的证题模式可以简要地概括为“否定→推理→否定”。实施的具体步骤是：第①步，假设原命题结论不正确;第②步，从假设出发，经过推理论证，得出与已知或定理相矛盾的结论;第③步，否定假设不成立，从而肯定原命题正确。
一、异面直线的判定
已知a、b是异面直线，直线c，d分别与a交与不同两点P，Q;c，d与b交与不同两点M，N.求证：c，d是异面直线.
学情分析：异面直线是空间直线，既不平行也不相交。假如从已知或定义出发推理论证非常抽象空洞，判定结论成立的条件比较复杂，不容易应用，直接证明很难切入，学生对此类问题通常是一筹莫展。利用反证法可以找到解决问题的突破口。
证明：假设c，d不是异面直线，则c，d共面于平面α.∵c∩a=P，d∩a=Q，
c，d
α，∴P，Q∈α而P，Q∈a，∴aα，同理ba.∴a，b共面与已知a，b是异面直线矛盾，所以假设不成立。∴c，d是异面直线.
学情分析：异面直线的判定证明题，其题设一般都比较离散而抽象，不利于思维定位，而利用反证法则可以让我们找到解题的方向。通过反证法的固有模式进行推理，学生的解题思路会得到延展拓宽。
又如：如图，a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，E，F分别是线段AC和BD的中点，判断EF和a，EF和b的位置关系，并证明你的结论。
解答：直线EF和a，直线EF和b都是异面直线。
证明：（反证法）假设EF和a不是异面直线，
则可设共面于α，即EFα，aα
∴E∈α∵A∈a，∴A∈α∴AEα∵C∈AE，C∈α. 同理D∈α.
∵C，D∈b，∴bα这与题设a，b是异面直线矛盾。所以，直线EF和a是异面直线。同理直线EF和b也是异面直线。
二、线面关系的判定
已知直线a∥平面α，点A∈α，点A∈直线b，且a∥b.求证：ba.
学情分析：有时学科中的起始性命题，由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。例解如下：
证明：假设b
α∵A∈α，A∈直线b，∴b和α相交.∵直线a∥平面α，A∈α∴A
a，则过点A和a存在一个平面β，即A∈β，aβ，在β内，过A可作直线c，使a∥c且A∈c.又∵a∥b，∴c∥b，与b∩c=A矛盾，∴bα.
已知a，b是异面直线.求证：过b有且仅有一个平面与a平行.
学情分析：“有且仅有”此类问题属于存在性、唯一性命题，如果直接证明需要作比较繁琐的辅助图形，同时也很难界定命题结论的唯一性。利用反证法就能一一否定后驳倒，证明过程简洁、明了。例解：
证明：①存在性.在直线b上任取一点B，过B作c∥a， ∵c与b相交于B，∴过c、b可作一个平面α.∵c∥a，cα，aα，∴a∥α②唯一性假设过b还要一个平面β，满足a∥β.∴bα，bβ，α∩β=b，而a∥α，α∥β∴a∥b，这与a、b是异面直线相矛盾，假设不成立，过b有且仅有一个平面与a平行
三、反证法应用反思
我校是农村高中，学生的数学基础知识非常薄弱，数学思维能力几乎都停留在表面功夫上。在教学中利用一些比较有效的解题方式方法是提高数学成绩的有效手段。尽管反证法目前的应用不是很广，有意识地引导学生运用反证法可以简洁有效地解决异面直线、线面关系的判定问题。但是并不是這方面内容都必须采用反证法，有时顺着题设寻找结论也很便捷。而反证法主要适用于题设复杂、如“至多”“至少”唯一性、否定性，正面很难切入的问题。所以要求学生在解题时注重审题，具体分析，灵活应用。反证法在应用时还是要强调书写格式，以达到解题思路清晰，证明结论凸显的效果。
