反证法在数学分析解题中的应用

林佳佳

【摘要】反证法是公认的巧妙的证明方法之一，在数学专业基础课程数学分析解题方面的应用广泛，本文结合自身学习经历，总结出几类反证法在数学分析解题方面的应用，并提出运用反证法所需要注意的事项。

【关键词】反证法  数学分析

【中图分类号】G642   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）20-0139-01

数学分析作为大学数学专业的基础专业课程，有着非常重要的地位。对于数学分析的解题方法众多，而反证法作为最巧妙高效的解题方法之一，在其中的应用非常广泛。由于反证法本身高效易懂的特点，已经成为数学解题中最重要的方法之一。笔者结合自身数学学习经验，在总结出一般反证法在数学分析解题方面的应用同时，进一步归纳出解题过程中运用反证法过程中的问题与注意事项。

一、反证法的定义与依据

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”;两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。

二、反证法在数学分析解题中的应用

数学分析是大学数学专业的基础课程，其相关问题的解决有大量的方法。其中，作为巧妙方法之一的反证法在一些题型的解决中有一定的应用。本文归纳出以下几种常见的类型。

（四）证明“唯一性”，宜采用反证法

该类题型并不难证明。如欲证明数列极限的唯一性，只需采用反证法，假设其极限不唯一，进一步利用极限的定义，最后结合ε的任意性即可得到结论。

三、运用反证法应注意的问题

（一）采用反证法时一定要对结论做出全方面准确的否定

“假定命题的结论不成立”作为使用反证法的第一個步骤，若第一步便出错，未能对结论做出全面准确的否定，那么即使后续的解答再完美也无任何用处。

（二）采用合理逻辑以及题目信息推出矛盾

如何推出矛盾是采用反证法解题的关键。推出矛盾的过程虽然是没有确定模式，没有既定标准的，但可以肯定的一点是，做题时一定要准确利用题干信息，并结合使用合理的逻辑与推理规则，切记不可生搬硬套，更应该避免陷入逻辑陷阱。

（三）采用反证法对于解题多数会起到简化求解过程的目的

采用反证法对于解题多数会起到简化求解过程的目的，但注意不可一味的使用反证法求解问题，如此可能使得求解过程略显累赘，至于如何合理使用，对于初学者而言，需要通过平时学习的大量积累，反复推敲直至明白其深刻内涵，最终投入使用时仍需要靠自身经验把握火候。

四、思考与总结

反证法是数学学习的一把利器，在数学各个领域均有体现。值得一提的是，反证法在数学分析解题方面的应用非常普遍，尤其是在证明题与一些概念理解上的应用不可小觑，如果能合理恰当使用反证法解题，可以使得解题过程简洁明了，给人以思维上的震撼，如果能借助反证法对一些难懂的概念加以理解，可以大大提高理解的深度。

参考文献：

[1]https：//baike.baidu.com/item/%E5%8F%8D%E8%AF%81%E6%B3%95/5017739？fr=aladdin

[2]李傅山著.数学分析中的问题与方法.北京：科学出版社， 2016.07.

[3]欧阳光中等编.数学分析（上）第3版.北京：高等教育出版社，2007.04.