浅谈引力半径和轨道半径的辨析

余小路

摘 要 文章主要对引力半径和轨道半径进行了辨析，从引力半径与轨道半径在相等和不相等这两种情况下进行分析。

关键词 引力半径;轨道半径

中图分类号：G632                                                      文献标识码：A                                                  文章编号：1002-7661（2019）20-0152-02

在万有引力定律的应用中，很多学生在“引力半径”和“轨道半径”上存在认识误区，认为公式中两式的r为同一物理量，导致频繁出错。究其原因，还是对两个公式的意义理解不透彻。在万有引力定律公式中，r指两星体重心间的距离，对于质量分布均匀的星体，r可看作球心间的距离，而向心力公式中，r指物体做圆周运动的轨道半径，即圆周运动物体重心与轨道圆心间的距离，两个r对应的物理量不同。两者取值是否相等，需要分下列两种情况。

一、引力半径与轨道半径相等的情况

当中心天体保持静止时，中心天体的圆心既是重心又是轨道圆心，此时轨道半径和引力半径相等，满足，所有r取值均为环绕天体的圆心到中心天体的圆心间的距离。此种情况在人造地球卫星类型的题比较常见。

例1：如图所示，是在同一轨道平面上的三颗不同的人造地球卫星，关于各物理量的关系，下列说法正确的是（  ）

A.根据，可知

B.根據万有引力定律，可知它们受到的万有引力F_A>F_B>F_C

C.角速度

D.向心加速度

解析：由于中心天体静止，轨道圆心和重心重合，引力半径和轨道半径相等，满足，解得：，，，即BC选项正确。而A选项是引入黄金代换公式后得到的结果，但错在忘记了黄金代换里面R的含义，黄金代换研究的对象是地球表面的物体，其受万有引力提供重力：，式中的R为引力半径，大小等于地球的半径，圆周运动动力学方程里的轨道半径不是同一个物理量，并不能约分消去。

二、引力半径和轨道半径不等的情况

当无静止的中心天体，两星体均在做匀速圆周运动时，轨道圆心和重心不重合，导致轨道半径和引力半径不相等，最典型的模型就是双星系统和多星系统模型。

例2：如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m₁：m₂=3：2.则（  ）：

A.m₁、m₂做圆周运动的线速度之比为2：3

B.m₁、m₂做圆周运动的角速度之比为3：2

C.m₁做圆周运动的半径为

D.m₂做圆周运动的半径为

错解1：认为引力半径和轨道半径均为星体距离L

錯解2：认为引力半径等于轨道半径

分析：由于两星体均在做圆周运动，轨道圆心为星体连线上的O点（此点为空点，无质量），m₁轨道半径为m₁到O的距离，m₂轨道半径为m₂到O的距离，两个轨道半径不相同。而引力半径为m₁、m₂重心间的距离，即球心距离L。此时，引力半径和轨道半径不相等。但m₁对m₂的万有引力，与m₂对m₁的万有引力为作用力和反作用力，大小相等，均为。

正解：m₁和m₂同轴转动，角速度相等

其中：r₁+r₂=L

解得：

由v=wr知：v₁：v₂=r₁：r₂=2：3

因此，在万有引力与圆周运动结合的应用中，若行星为一动绕一静做圆周运动，则引力半径等于轨道半径，若行星均运动，且绕星体之外的一点，则引力半径不等于轨道半径，引力半径为球心之间的距离，轨道半径一般可以根据合力指向圆心，确定半径，结合几何关系进行求解。防止出错的关键点就在于把我引力半径和轨道半径的物理意义：一个是重心之间的距离，一个是重心和圆心之间的距离。